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#1 10-02-2020 13:36:13

Alain Ratomahenin
Invité

Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonjour.
En notre époque survient,  progrès obligeant,  de nouveaux éléments notamment en trigonométrie.
Voici comment multiplier la longueur de deux tangentes dans le cercle trigonométrique.
On veut multiplier 6.3 par 3.8 ce qui nous donne : 23.94 .
On détermine l'inverse de chacun de ces nombres ce qui nous fournit un nombre de la même famille : un cosinus.
6.3^-1 = 0.1587301587 et 3.8^-1= 0.2631578947
Ce qui nous donne donc deux angles :
a = 80.86680222 ° et b = 74.74247671 °
Nous allons maintenant multiplier ces deux cosinus par la formule dédiée : ( cos(a+b)  + ( cos ( a - b)) /2 ce qui aura pour effet de multiplier au final les deux tangentes.  Notons que nous pouvons effectuer une multiplication normale en effectuant une addition tout comme les logarithmes.
-0.9107505502 + 0.994292739 / 2 = 0.0417710944 .
Une fois les cosinus multipliés on obtient un nouveau cosinus.  L'inverse de ce cosinus est égal au résultat de la multiplication :
0.0417710944 ^-1 = 23.94

#2 10-02-2020 15:59:21

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 764

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonjour,

J'ai une autre idée dans le même genre :

Prenez deux nombres 0.123 et 1.45 que vous voulez multiplier : appeler c le produit 0.123 X 1.45.

Calculer d'abord l'inverse de 0.123 puis l'inverse de 1.45, vous trouvez 8.13008130081 et 0.68965517241.
Multiplier ensuite ces deux nombres : 8.13008130081 X 0.68965517241 = 5.60695262122.
Et magie : l'inverse de 5.60695262122 est le produit que vous cherchez : 0.17835.

Roro.

P.S. Vous remarquerez que je n'ai même pas eu besoin d'utiliser de cosinus ou de logarithme !

Hors ligne

#3 10-02-2020 16:27:06

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

J'ais,  comme pour les logarithmes,  effectué une somme pour parvenir au résultat et non un produit.

#4 10-02-2020 17:50:53

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 764

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Exact, tu as effectué des sommes, mais aussi pris l'inverse trois fois, et appliqué le fonction réciproque du cosinus deux fois, etc.
Je ne suis pas persuadé qu'il y ait un intérêt mais peut être me trompe-je ?

Roro.

Hors ligne

#5 10-02-2020 18:56:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonsoir,

Intérêt ? Aucun...
Ça ne raccourcit pas les calculs le moins du monde.
Si je multiplie 6.3 par 3.8, j'obtiens 23,94 valeur exacte...

Après tout ce cinéma, avec Python, je n'obtiens pas (ni à la main d'ailleurs) de valeur exacte, mais une valeur approchée...
Python me donne : 23.939999999999937 (itou avec n'importe quel langage de programmation).
Surprise !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 11-02-2020 08:13:36

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonjour.
En fait la multiplication trigonométrique n'est qu'une application des éléments nouveaux que j'ais pu apporter à la géométrie. Il s'agit d'une petite réforme du cercle trigonométrique où on voit apparaître de nouveaux " traits " correspondant à une valeur bien précise. Il y a bien sur beaucoup de travail à  faire pour exploiter pleinement cette nouveauté : la division par exemple : qui connaît la formule de division de deux cosinus?

#7 11-02-2020 09:03:32

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Voici les schémas trigonométriques de cette nouveauté. L'exemple de division géométrique a été effectué avec d'autres valeurs. Vous avez tous les éléments sous les yeux.
https://www.cjoint.com/c/JBLi4g1CYjy

#8 13-02-2020 11:36:26

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonjour.
@YOSHI.  Cher Yoshi j'aimerais beaucoup ton précieux avis ainsi que pour les schémas.

#9 14-02-2020 20:02:43

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonsoir.
Les logarithmes au départ ont été créés pour simplifier des calculs de multiplications AVEC DES NOMBRES TRÈS GRANDS . Mon travail,  qui finalise le travail des anciens grecs,  permet de simplifier grandement ce genre d'opérations. Ceci est très novateur et mérite votre intérêt.

#10 14-02-2020 20:25:02

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonsoir,

Voilà deux nombres :

a=15364503815606597596910607037611598658188019063570084988704989539284420203633434914655247429013421386763999794834544283720419773819320422899714096884339460781925708938611438119383498201833866334409592936046927960023631057811382300137791389959128156356508786779880771173855722618546496615499855444555320543199929116950938753861382640139380872507588471962197418206132778684774397756940797561915111720243887694899018276390397113593310543631100008596885913200419753468511130745730534730069592186906375687592937553707622681803944439491823000913104841693795574976383596012258349780647213995521353823530034131452145895559454037756213323218516024465047927609382452546338497164232429147089214710422673016925451008024137664792025825472377759978476867673115748560550316040605392471431240115559220234791826542627284533851065000922353796855774269191116283608417829799789495849348439325630071340746158023300130916997509913915569936632169281090667956860984500954597170950778216686709109399329438178679542896511179076040699793246951917550266852470935462507328405089390485154955410978048328829901641940216317771598725899405491019409979244162678862277815686211270345551798182973981091810321515537921179803636635000635664573139951734439568486135413866779114623091252563953798261669560579532037094840027707294763172132824335136785573324907645065126370326051330058753660451339869340946541094894919560199199337089396726527220610086756880477235496978880524216529326540696515403145278636993549393980459476311842009004005762443599358440518869918489221838848292301031469058959145635264652466056800478454716617925911248969091154335018902426038863519867339117727909128640491124437438605075571011672340868295419763953890396851295417705360694718429127836331634748133728851111165134279077187899693200536123815128349623315167202450217800163182171319611251996845066148939968056166751788045323400683138428571789378088966666529203052139727508035125983684809450351990702512051829987238172479543780734110557974252157159310446238211946248441136030807443523526232473423449024060227670691904107796346425114848582222079057976101373463441786534940299467403474816941158397528098277829397846913863242851395154050353455655515966876159035650429320535408495801337892953395760094864907290743000800763726154935343685477236773466019632546201404012596749353418064672315450961637399953431768004387966406814922597606612995293213308618645910741411815836911291969558548265882030176949159825242872910616882427735523510687288784285859649424010439888160244482000854265489452848031124319118628001076496532412235279465309212169505999089785291124326368560701607741698580387354960067715756737051216023463064566238701593055530450104486355791312076889393307866962694021696390898858436790857727804105451135244550296491781015111188575839206792522503832844988610236335544603372942498248947762965598680252906045225585081733557637514857772995516150822560984096568594749733535583270094078030164107306772234586667316126133760873905078643750154633743202604572016961437093028181457057414108910885614832247982065493819963764663666553790049112260594493997765087972434593010165045422126016235082418495770713615001497376854172515633900092249962779353943446290879188271333425349447010573885471484537525200562460599230509305062328109211825785845489983667830272006350519848839789773393034472081942156163740947135216927584567406360827813624531072387288889552276068906777935654

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b=15364503815606597596910607037611598658188019063570084988704989539284420203633434914655247429013421386763999794834544283720419773819320422899714096884339460781925708938611438119383498201833866334409592936046927960023631057811382300137791389959128156356508786779880771173855722618546496615499855444555320543199929116950938753861382640139380872507588471962197418206132778684774397756940797561915111720243887694899018276390397113593310543631100008596885913200419753468511130745730534730069592186906375687592937553707622681803944439491823000913104841693795574976383596012258349780647213995521353823530034131452145895559454037756213323218516024465047927609382452546338497164232429147089214710422673016925451008024137664792025825472377759978476867673115748560550316040605392471431240115559220234791826542627284533851065000922353796855774269191116283608417829799789495849348439325630071340746158023300130916997509913915569936632169281090667956860984500954597170950778216686709109399329438178679542896511179076040699793246951917550266852470935462507328405089390485154955410978048328829901641940216317771598725899405491019409979244162678862277815686211270345551798182973981091810321515537921179803636635000635664573139951734439568486135413866779114623091252563953798261669560579532037094840027707294763172132824335136785573324907645065126370326051330058753660451339869340946541094894919560199199337089396726527220610086756880477235496978880524216529326540696515403145278636993549393980459476311842009004005762443599358440518869918489221838848292301031469058959145635264652466056800478454716617925911248969091154335018902426038863519867339117727909128640491124437438605075571011672340868295419763953890396851295417705360694718429127836331634748133728851111165134279077187899693200536123815128349623315167202450217800163182171319611251996845066148939968056166751788045323400683138428571789378088966666529203052139727508035125983684809450351990702512051829987238172479543780734110557974252157159310446238211946248441136030807443523526232473423449024060227670691904107796346425114848582222079057976101373463441786534940299467403474816941158397528098277829397846913863242851395154050353455655515966876159035650429320535408495801337892953395760094864907290743000800763726154935343685477236773466019632546201404012596749353418064672315450961637399953431768004387966406814922597606612995293213308618645910741411815836911291969558548265882030176949159825242872910616882427735523510687288784285859649424010439888160244482000854265489452848031124319118628001076496532412235279465309212169505999089785291124326368560701607741698580387354960067715756737051216023463064566238701593055530450104486355791312076889393307866962694021696390898858436790857727804105451135244550296491781015111188575839206792522503832844988610236335544603372942498248947762965598680252906045225585081733557637514857772995516150822560984096568594749733535583270094078030164107306772234586667316126133760873905078643750154633743202604572016961437093028181457057414108910885614832247982065493819963764663666553790049112260594493997765087972434593010165045422126016235082418495770713615001497376854172515633900092249962779353943446290879188271333425349447010573885471484537525200562460599230509305062328109211825785845489983667830272006350519848839789773393034472081942156163740947135216927584567406360827813624531072387288889552276068906777935687

Veux-tu bien me faire cette multiplication via ta méthode s'il te plaît et me donner la réponse ?
N-B : Python me la donne (valeur exacte) instantanément...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#11 15-02-2020 10:03:26

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Bonjour.
Ces deux nombres sont si grands qu'autant faire : infini × infini = infini^2 .
Il ne faut pas forcément juger l'utilité première d'un principe mais en considérer sa beauté purement mathématique. C'est en fait la finalisation de l'œuvre des grecs anciens qui pensaient déjà effectuer des multiplications par le biais d'additions. Il faut mieux aussi considérer les schémas que j'ais posté : on y trouve le COTERNUS nouvel élément de trigonométrie qui correspond à l'inverse de la tangente de l'angle alpha.
Bien sur mon système ne fonctionne qu'avec des nombres >= 1 et il faudrait travailler sur la question des inverses.

#12 15-02-2020 13:57:08

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Voici un nouvel élément.  Il s'agit là d'élever non pas une tangente mais une secante ( inverse du cosinus)  . En vous référent au premier schéma vous voyez que l'on obtient en fonction du cosinus son inverse qui donc peut être une tangente comme une secante. L'opération realise donc une multiplication en doublant simplement la valeur de l'angle formé par le cosinus.
http://www.cjoint.com/c/GIwhdU7rgjS

#13 15-02-2020 14:39:18

yoshi
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Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Re

Ces deux nombres sont si grands qu'autant faire : infini × infini = infini^2

Er pourtant :

a*b=
23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089724541052092563780489941441440837878227496950817615077378350425326772444707386358636012153345270886677817319187916581127664532263985658053576135041753378500342339241406444208643253909725259262722887629951740244068161177590890949849237139072972889848208864154268989409913169357701974867888442508975413295618317692149997742480153043411503595766833251249881517813940800056242085524354223555610630634282023409333198293395974635227120134174961420263590473788550438968706113566004575713995659556695691756457822195250006053923123400500928676487552972205676625366607448585350526233067849463342224231763727702663240768010444331582573350589309813622634319868647194698997018081895242644596203452214119223291259819632581110417049580704812040345599494350685555185557251238864165501026243631257102444961878942468290340447471611545572320173767659046091852957560357798439805415538077906439363972302875606299948221385217734859245351512104634555504070722787242153477875291121212118433178933519103800801111817900459061884624964710424424830888012940681131469595327944789899893169157746079246180750067987712420484738050277360829155991396244891494356068346252906440832794464268088898974604630835353787504206137475760688340187908819255911797357446419024853787114619409019191368803511039763843604128105811037869895185201469704564202176389289088444637782638589379244004602887540539846015606170522361509038577541004219368498725427185037521555769331672300477826986666244621067846427248638527457821341006798564530527112418059597284945519545131017230975087149652943628290254001204778032415546448998870617799819003360656224388640963928775351726629597143822795630795614952301544423501653891727864091304197939711135628213936745768117492206756210888781887367167162762262337987711153950968298289068301825908140100389550972326150845283458789360734639611723667836657198260792144028911900899558424152249571291832321674118997572013940378819772801528872341866834541838286730027431532022960762861252476102864234696302011180269122023601581012762843054186171761857514069010156162909176398126722596559628234906785462416185794558444265961285893756485497480349011081355751416647462195183023552595688656949581635303619557453683223526500772242258287366875340470074223266145173976651742067264447621961802422039798353682983502466268030546768767446900186957209958589198316440251620919646185105744248274087229820410943710992236175285315302212109176295120886356959716907946257260325089752229704043412880822332153390119551566514079022175646165421295787804223138207855367690772666643131659319546206872064645091487274408248812817765347516867907359186246442687464199149977893991312947201459199967825762063948526250359428286402462255910378955634538283178235598391296251160036910131265905719718200181724360595512757851998329989285638604458710469334951865390330842804218272603638944541578024417457472341469729999631251094562274695974331390549780162887681065496756275649338348884592698294163140147050914141795453509386876452390937230662419067158476029218547020420238380436721350194617915057915493628459086788770986310679260761458338351692202921990110129607358608294473144079720147101521804634625003226409687167296354096963621983204885046543344380378669192757217575057403478718606026718022474204783425318094052698805661533753487277302654212560646348138634668964687129063701162706217099466701519981391417449512218179096892089325253737226960846589854968721134476406721338459127191896710688175116179924607332476756291566332812659030836676877806283869045538299582863994707004809277357124159984320750537475402304747577941348535850975957383300680766098542125112513931909980212082487524091138742239837543605687588990629063469947014322669768102497236692383385593868164884150711137630893150253570991336723620130976928385376126874326303059076159997693603408381984983003140666556658050179400030019020988044825116170029436675069469808256759294233882106229470434258028518091609277339782879312388695672705568804102118708797725797833693809990161690539057090702471836424002249597083971299200633512085608995464695332464274079537608024648149069574849712969111253819435689099743676872895804983488008674241792193185567090170396832799374160839841132251711199556094085232717047356395722014921001832018194484659499043913206543527000918430541296650860657936675514448287494180503110458216241190057546719202097599952501385870034793290815249461102194027802895929232701573039134338313853469933760450741312529326951746122500862525898272070600300074038720854499628599634008963086872894135036992929536772209508487056771820482353924254340714034795487749247148963596799210714585624225344609591873725380471142750126987804559334555198489303393005952868774159032002114846397223949313193810501995679229793217679551601615639677772428356157205155377198409229711392621999094571609170506031499059481492170109333976320745869694122041504674039667332316979743574173916247407005444422415261806744676751138770657944275475137029797379709080699544166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Résultat instantané avec Python et en utilisant la multiplication standard...
Alors ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#14 15-02-2020 19:13:08

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Re.
Rien à dire ceci est une simple multiplication.
Notez que dans le deuxième schéma il est tout à fait simple de déterminer une racine carrée : il suffit de procéder à l'envers donc de diviser un angle par deux ce qui nous amène à la division de deux cosinus.

#15 15-02-2020 19:51:50

yoshi
Modo Ferox
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Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Ren

Simple multiplication qu'il dit !
Bon, tu parles racine carrée...
Alors, tiens :

>>>n=236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782274969508176150773783504253267724447073863586360121533452708866778173191879165811276645322639856580535761350417533785003423392414064442086432539097252592627228876299517402440681611775908909498492371390729728898482088641542689894099131693577019748678884425089754132956183176921499977424801530434115035957668332512498815178139408000562420855243542235556106306342820234093331982933959746352271201341749614202635904737885504389687061135660045757139956595566956917564578221952500060539231234005009286764875529722056766253666074485853505262330678494633422242317637277026632407680104443315825733505893098136226343198686471946989970180818952426445962034522141192232912598196325811104170495807048120403455994943506855551855572512388641655010262436312571024449618789424682903404474716115455723201737676590460918529575603577984398054155380779064393639723028756062999482213852177348592453515121046345555040707227872421534778752911212121184331789335191038008011118179004590618846249647104244248308880129406811314695953279447898998931691577460792461807500679877124204847380502773608291559913962448914943560683462529064408327944642680888989746046308353537875042061374757606883401879088192559117973574464190248537871146194090191913688035110397638436041281058110378698951852014697045642021763892890884446377826385893792440046028875405398460156061705223615090385775410042193684987254271850375215557693316723004778269866662446210678464272486385274578213410067985645305271124180595972849455195451310172309750871496529436282902540012047780324155464489988706177998190033606562243886409639287753517266295971438227956307956149523015444235016538917278640913041979397111356282139367457681174922067562108887818873671671627622623379877111539509682982890683018259081401003895509723261508452834587893607346396117236678366571982607921440289119008995584241522495712918323216741189975720139403788197728015288723418668345418382867300274315320229607628612524761028642346963020111802691220236015810127628430541861717618575140690101561629091763981267225965596282349067854624161857945584442659612858937564854974803490110813557514166474621951830235525956886569495816353036195574536832235265007722422582873668753404700742232661451739766517420672644476219618024220397983536829835024662680305467687674469001869572099585891983164402516209196461851057442482740872298204109437109922361752853153022121091762951208863569597169079462572603250897522297040434128808223321533901195515665140790221756461654212957878042231382078553676907726666431316593195462068720646450914872744082488128177653475168679073591862464426874641991499778939913129472014591999678257620639485262503594282864024622559103789556345382831782355983912962511600369101312659057197182001817243605955127578519983299892856386044587104693349518653903308428042182726036389445415780244174574723414697299996312510945622746959743313905497801628876810654967562756493383488845926982941631401470509141417954535093868764523909372306624190671584760292185470204202383804367213501946179150579154936284590867887709863106792607614583383516922029219901101296073586082944731440797201471015218046346250032264096871672963540969636219832048850465433443803786691927572175750574034787186060267180224742047834253180940526988056615337534872773026542125606463481386346689646871290637011627062170994667015199335574248981167273508265781724812649127907144250485223405560573120864698856746034511488116745565359920634787280265752554024873596622892873895341062544984820943340027649566257313012986868360780082035610679011754491733115104587831647941683545966745646230513852185991884480001121253357348715847944908169635303946872530537889777105440549557494671967073455522815183424102653868967505983299961872049235688535145553580038383814076104409224649647826522086543833690246120472557870908649235399515073780835273005095702764926293166727667520471557985345977264323716791807279963676916552898249196187408611111922759468652269660989899373621790713926965635625772507292168406789307638883891428533364743678983664741817149700533136079794881324210720612800521634225331990839873746321891445776218415576455440727336896306512345682353819585333310447693766227437059838432638104031372624456414311997529368471041185707435156153121007354626195038244794777444936516114319489148096859756147044319685335325156154124038860801085100316625006035068188234382038597807689450066597604900287359368833895919090609182062762324374091359957327323492119140006891940227050362692013131070406957762348299882549652830427113552788078142077417636467613606700076093600349616441182193688405289280437541068020063605763328830618278789631280638564557096482902100637765037994014972457588431179148564043331412437618115617610064935398259457442077414739481287133491784051731314795712171913306821407199566408926726929709789953277707020910545964845813996977073936560929194915253028687181018766424874866677410333142980118142113404977597160874363025220088076297608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6789 chiffres
Je cherche sa racine carrée entière, je vérifie que  (r+1)²>n, puis que r²<n donc  je sais que mon résultat est correct.
Là, Python, tout seul ne peut pas...
J'ai donc écrit un petit script qui me le fait pour les nombres de plus de 10 chiffres :
10 lignes de préparation : 4 de calcul proprement dit.
Wolfram Mathematica ne peut traiter ce nombre : trop grand pour lui.
Si tu trouves sur Internet qui peut calculer la racine carrée entière de ce nombre et en quelques secondes, fais-moi signe...

Donc, l'héritier des anciens grecs, à toi de jouer maintenant !!!
Non ? Simple racine carrée alors ?

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#16 16-02-2020 12:55:23

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

C'est impressionnant.  Même pour ces nombres leur valeur est intégrable à mon système :  quelque soit la valeur il lui correspond ( comme les inverses)  un angle et un cosinus.  Ma théorie met en évidence le lien entre inverse et cosinus mais le plus important est qu'elle rende possible une multiplication en effectuant une addition d'angles : c'est assez magique  ! 
De toutes manières il y a dans mon travail un apport capital à la trigonométrie et il y a même un nouvel élément ( l'inverse de la tangente)  à qui il faut donner un nom : je lui ais donné le nom : Coternus.

#17 16-02-2020 13:46:09

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 211

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

Re,

il y a même un nouvel élément (l'inverse de la tangente)  à qui il faut donner un nom : je lui ais donné le nom : Coternus

Raté !
On n'en parle plus, mais moi, et ceux de ma génération l'avons rencontré et utilisé : cela s'appelait Cotangente !!!...

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#18 16-02-2020 14:11:30

freddy
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Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

yoshi a écrit :

Re,

il y a même un nouvel élément (l'inverse de la tangente)  à qui il faut donner un nom : je lui ais donné le nom : Coternus

Raté !
On n'en parle plus, mais moi, et ceux de ma génération l'avons rencontré et utilisé : cela s'appelait Cotangente !!!...

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#19 16-02-2020 16:35:38

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 211

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

B'soir,

Existent aussi la sécante : $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ et la cosécante :  $\text{cosec }x = \dfrac{1}{\sin x}$.
Cela dit, je ne les ai jamais utilisés, c'est pourquoi ça m'était sorti de l'esprit...

Mais, c'est bien, tu as réinventé les roues et une manière originale, quoique douteuse (puisque les résultats paraissent être des résultats exacts, mais ne sont dans 99% des cas que des résultats arrondis), de s'en servir.

Gagner au Loto, ce n'est pas à tous les coups... ;-)

@+


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#20 16-02-2020 17:00:12

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Arithmétique trigonométrique : la multiplication.

@Yoshi : Merci.

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