Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SimbaLeRoi

Invité

Variables aléatoires

Bonjours, besoin d'aide pour la demonstration d'une petite propriété merci a vous.
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réel et indépendantes et N une variable aléatoire a valeur entière indépendante de la suite (Xn).
On définit [tex]S_{N}(w)=\sum_{n=1}^{N(w)}X_{n}(w)[/tex] si N plus grand ou égale a 1 et egale 0 si N=0.
Montrer que Sn est une variable aléatoire.

Donc il faut que je montre que : [tex]S_{N}: (E,F) -> (R, Bor(R))[/tex] est mesurable. (Oú (E,F) est l'ensemble et la tribu ou les Xi et N sont definit)
Cad pour tout B dans Bor(R) on as [tex]S_{N}^{-1}(B)\in F [/tex]
Donc j'aimerai écrire l'image réciproque de Sn d' un interval de R comme une union dénombrable d'image réciproque de X et de N ce qui prouvera ce que l'on veut, mais je n'arrive vraiment pas a démarer, si quelqu'un peu me donner un indice cela serais vraiment simpa.
Merci à vous et bonne journée !

SimbaLeRoi

Invité

Re : Variables aléatoires

Je pense avoir trouver quelque chose mais je suis assez dubitatif,
Soient B un borélien de R et [tex]A={k\in N |  \exists w \in E , S_{N}(w)\in B et N(w)=k} [/tex]
Alors [tex]w\in N^{-1}(A) [/tex] , N(w) dans A implique [tex]S_{N}(w)\in B[/tex] cad [tex]w\in S_{N}^{-1}(B)[/tex]
Et réciproquement si est dans [tex]S_{N}^{-1}(B)[/tex] alors il est clair que N(w) est dans A et donc w dans N^-1(A).
Comme A est dans P(N) ( la tribu de l'esemble des partie de N) alors on conlue :
[tex]N^{-1}(A)=  S_{N}^{-1}(B) \in F[/tex]

J'ai le sentiment que j'ai un probleme dans la définition de A, vous pouvez me dire ce que vous en penser ? Merci beaucoup

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Variables aléatoires

Salut,

tu n'as pas à ta disposition des théorèmes plus généraux sur la nature de la somme de $n\gt 0$ va iid ?
Et du coup, le seul problème à régler est le cas $n=0$ ?

Remarque : $S_{n}$ est ce qu'on appelle une loi mélange.

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

SimbaLeRoi

Invité

Re : Variables aléatoires

Okay je pense c'est bon j'ai trouver, ce que j'ai écris au dessu est faux.
[tex]S_{N}^{-1}(B)=\bigcup_{n\in N}(w\in E, \sum_{k=1}^{n}\in B \; et \;N(w)=n)[/tex]
[tex]S_{N}^{-1}(B)=\bigcup_{n\in N}(w\in E, \sum_{k=1}^{n}\in B )\bigcap(w\in E,N(w)=n)[/tex]
(J'ai mis des parenthèse, { ne s'affiche pas)

[tex]S_{N}^{-1}(B)=\bigcup_{n\in N}f_{n}^{-1}(B)\bigcapN^{-1}(n)[/tex]
(Oú n={n})
Oú fn egale a la somme des 1 a n des Xi qui est mesurable pour tout n en tant que somme de fonction mesurable.
Ce qui donne que [tex] f_{n}^{-1}(B) \in F[/tex] et donc qui permet de conclure.

Desoler d'avoir poster 3 message je reflechi depuis ce matin a la question ^^'.

Merci a ceux qui veulent bien chequer le raisonement et me dire si cela est correct .

SimbaLeRoi

Invité

Re : Variables aléatoires

Oh lala je me suis emeller les pinceaux avec le latex les somme dans les deux première equation sont biensure les somme des Xk
Et la 3eme :
[tex]{N}^{-1}(B)=\bigcup_{n\in N}f_{n}^{-1}(B)\bigcap  N^{-1}(n)[\tex]