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#1 12-02-2020 23:44:35

SimbaLeRoi
Invité

probabilité (Loi Binomiale)

Bonjour j'aimerai votre aide pour l'exercice suivant, merci a vous.

(Xn) une suite de v.a independabte de même loi de bernouilli et
Yn=Xn.Xn+1
Sn=X1+X2+...+Xn
Vn=Y1+Y2+...+Yn
1) calculer E(Sn) et E(Vn)
2) calculer Var(Sn) Var(Vn) cov(Sn,Vn)

Jai reussi tout le debut sans trop de difficulter, ce qui me pose problème c'est cov(Sn,Vn).

1) utilisant la linéarite de E() . E(Sn)=np et E(Vn)=np^2

Pour la 2eme j'ai calculer Var(Sn) en disant que les cov(Xi,Xj) sont tous nul. Var(Sn)=np(1-p)
Pour Var(Vn) j'ai utiliser le faite que cov(Yi,Yj)=0 si j différent de i+1. Et egale p^3(1-p) sinon.
Var(Vn)=np^2(1-p^2)+2(n-1)p^3(1-p)

Et maintenant je dois calculer E(Sn.Vn) et je sais pas trop comment m'y prendre j'ai d'abord penser a écrire Sn.Vn comme une double somme :
[tex]\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} X_{i}Y_{k-i}[/tex]
[tex]E(X_{i}Y_{(k-i)})=p^2 [/tex] si i=k/2 ou i=(k+1)/2
[tex]E(X_{i}Y_{(k-i)})=p^3 [/tex] sinon
[tex]E(SnVn)=\sum_{k=1}^{n}((k-1)p^{3}+p^2)[/tex]
Et j'ai pas fini le calcul mais je doute de moi ici sa ma l'air compliqué esque vous pouvez me confirmer que c'est juste et que j'ai utiliser la bonne methode ? Merci a vous bonne soirée

#2 13-02-2020 09:17:32

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 183

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Bonjour tes si i=k/2  ou i=(k+1)/2  pour moi c'est pas clair.

Personnellement à ta place je ferai: 
[tex]S_nY_n= \sum_{i,j=1,...,n} X_i Y_j=\sum_{i,j=1,...,n} X_i X_j X_{j+1}  [/tex]

Et tu partitionnes  ta famille  des couples  (i,j)  en  2  sous-ensembles: 
les couples (i,j) tels que j=i-1 ou j=i
et les autres couples sinon.

D'une part c'est pas difficile à dénombrer,  d'autre  part à l'intérieur de  chaque des cas  l'espérance de [tex]X_Y_j [/tex] est la même, et visiblement tu sais le calculer.

Dernière modification par aviateur (13-02-2020 09:20:11)

Hors ligne

#3 13-02-2020 09:18:02

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 901

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Salut,

là, j'ai un peu de mal à lire, et donc à comprendre.
Pour le français, je ne peux rien faire (mais tu peux faire des choses pour toi) mais pour les maths, je te propose d'écrire avec Latex pour les expressions et les formules. J'ai un peu de mal avec le définition de ta va $Y_n$ par exemple.
Précision : je devine que le paramètre de ta Bernoulli est $p$ ?
Je suis d'accord avec tes calculs sur l'espérance et la variance de $S_n$.

Pour info, tu es en quelle année de quoi ?


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#4 13-02-2020 10:17:39

SimbaLeRoi
Invité

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Bonjour et merci beaucoup de vos réponse. Je suis en L3 mathematique. Desoler de ne pas utiliser le latex sur toute les formules, je n'es pas d'ordinateur, j'ecris avec mon telephone ce qui est un peu long.

Pour resoudre le probleme comme aviateur la poser du coup il suffit de remarquer que il y [tex] n^2 [/tex] terme dans la somme dont :
n termes de la forme Xi.Yi
n-1 termes de la forme Xi.Y(i+1)
n-1 termes de la forme Xi.Y(i-1)
Autrement dis il y a [tex] n^{2}-n-2(n-1) = n^{2}-3n-2[/tex] termes dont l'esperance vaut p^3
Et [tex]n+2(n-1)=3n-2[/tex] termes dont l'esperance vaut p^2. Esque cela est  correct ?

#5 13-02-2020 11:09:06

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 183

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Je ne comprends pas pourquoi tu n'a pas suivi ma partition 


X_i  Y_{i+1}  c'est  comme  XiY_{j}, j =i+1,....  et j=i-2,i-3    tout ça c'est à mettre dans le même sac pour ces indices J,  X_i  et Y8j sont indépendant.

Hors ligne

#6 13-02-2020 12:18:47

SimbaLeRoi
Invité

Re : probabilité (Loi Binomiale)

J'ai juste voulu denombrer la somme, je ne connais pas trop de methode generale du coup j'ai compter les termes comme sa me semblais le plus simple.
J'aurais du préciser je pense
n-1 termes de la forme Xi Y(i+1) AVEC i<n
Ect... mais j'ai oublier pardon.
Mais sinon c'est correct ?

Merci encore.

#7 13-02-2020 12:24:47

SimbaLeRoi
Invité

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Ah mais non j'ai compris desoler je repris l'exercice entre 2 cour d'analyse...
Oui Xi et Yi+1 sont independant du coup il faut les enlever dans mon calcul merci.

#8 14-02-2020 10:08:05

Alexis KPODODJINONTO
Invité

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Bonjour ,j'ai besoin de votre aide.
Cours de LATEX en format pdf pour lire et maitriser les differentes commande.

#9 14-02-2020 11:13:44

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : probabilité (Loi Binomiale)

Bonjour;

Peut-être serait-il bien d'ouvrir les yeux : Code Latex
Pas vu ?
Pas besoin de pdf...
Tu as les principes de fonctionnement avec exemples, puis si tu as besoin de plus, un lien y figure vers un complément d'information...
Cela va te demander 1/2 h à 3/4 h d'apprentissage pour démarrer et tester, puis tu te perfectionneras seul (et on t'aidera si besoin est).

Ce qui aurait été bien, c'est que tu ne parasites pas cette discussion (montrant par là même que tu ne connais pas le sens du verbe Répondre) c'est que tu cliques toi-même sur Nouvelle discussion dans la page d'accueil du sous-forum  Café mathématique...
Pas vu non plus ? Décidément...

Ce message et le tien seront supprimés d'ici 24 h...

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