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#1 10-02-2020 16:05:32

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Produit de deux groupes cycliques

Bonjour,

je dois montrer que si $G_1$ et $G_2$ sont deux groupes d'ordres respectifs m et n alors :
$pgcd(m,n)=1 \Leftrightarrow G_1\times G_2$ cyclique.

Voici ce que j'écris :
$\Rightarrow$

$G_1$ étant cylclique d'ordre m alors il est isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. De même $G_2\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Je montre que  l'application $f:\dot{k}\in\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\to (\bar{k},\overset{\sim}{k})\in\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un morphisme de groupes injectif en utilisant le fait que $pgcd(m,n)=1$.

Puisque $card(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})=card(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times card(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, on en déduit que f est un isomorphisme.

Par suite, $G_1\times G_2\simeq\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Or $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ par f.

D'où $G_1\times G_2\simeq\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ et donc $G_1\times G_2$ est cyclique d'ordre mn.

$\Leftarrow$

Cette fois on sait que $G_1\times G_2$ est cyclique.

On suppose, par l'absurde, que $pgcd(m,n)=d\ge 2$.

Alors il existe m' et n' premiers entre eux de sorte que $m=m'd$ et $n=n'd$.

D'où $pgcd(m,n)\times ppcm(m,n)=mn$.

Ce qui donne $d\times ppcm(m,n)=m'dn'd$ et donc $ppcm(m,n)=m'n'd=m'n=mn'<mn$.

On a $(x;y)^{ppm(m,n)}=(x^{ppm(m,n)};y^{ppm(m,n)})=(x^{mn'};y^{m'n})=(1;1)$.

Tout élément de $G_1\times G_2$ a un ordre strictement inférieur à mn. Absurde.

Qu'en pensez-vous ?

Hors ligne

#2 10-02-2020 22:13:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 409

Re : Produit de deux groupes cycliques

Bonjour,

  Je pense que tu as oublié comme hypothèse que $G_1$ et $G_2$ sont cycliques. Pour le sens direct, connais-tu le théorème chinois qui pourrait simplifier la preuve?

F.

Hors ligne

#3 13-02-2020 21:57:29

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Produit de deux groupes cycliques

Je ne l'ai pas encore revu, mais je le reprends bientôt !

Hors ligne

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