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#1 12-02-2020 14:43:52

mathilda12
Invité

Montrer que l image réciproque d'un application est elle même

Bonjour tout le monde , notre professeur nous a donné une liste de propriété qui sont vrais , mais certaine me trouble un petit peu.
Voivci l'énoncé :

On considere : [tex] E[/tex] un espace vectoriel fini ( fdont la dimension est finie  ) et  [tex]V_{0},...V_{n}[/tex] des sous espaces de E [tex]V[/tex] ( tel que l'on a [tex]V_{0} = \left\{0 \right\} ,V_{1} , .... , V_{n-1} , V_{n}=E[/tex] , alors on a les propriétés suivantes :

Et soit [tex]H[/tex] un sous espace [tex]E[/tex] et [tex]f[/tex] un endomorphisme tel que f est stable sous H

Et on définit : [tex]\pi:  E\:\longrightarrow E/H [/tex] la projection canonique tel que :

[tex]g =\pi \;\circ f [/tex]

a) i]
Si : [tex]f^{-1}(H) = H[/tex] Alors Ker([tex]g[/tex]) = [tex]H[/tex]
   ii]
[tex]g = 0[/tex] ,  si et seulement si  , [tex]\;f(E) \subseteq H[/tex]
b)i]
Si : [tex]u\equiv v[/tex] mod [tex]H[/tex] ; alors : [tex]f(u)\equiv f(v)\; [/tex]mod [tex]\;H[/tex]
   ii]
Si : [tex]u+H=v+H[/tex] alors  : [tex]f(u)+H = f(v)+H[/tex]

A l'instant j'ai juste réussi a montrer la b) ii] et n'ai aucune idée pour les 3 autres ..
Merci d'avance pour votre aide , je vous serez reconnaissante, N'importe quelle aide serait la bienvenue.

#2 12-02-2020 14:48:50

mathilda12
Invité

Re : Montrer que l image réciproque d'un application est elle même

Voici ce que j'ai fais pour la réponse si cela vous semble correct :

Si [tex]u+H = v+H[/tex], alors [tex]u-v\in H[/tex], et on a que [tex]H[/tex] est bien stable pour  [tex]f[/tex],
[tex]f(u)-f(v) = f(u-v) \in H[/tex]
Mais on a que cela est equivalent a dire que :

[tex]f(u) + H = f(v) + H[/tex].

#3 12-02-2020 16:30:56

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 764

Re : Montrer que l image réciproque d'un application est elle même

Bonjour,

J'ai lu l'énoncé et il est évident que ce n'est pas exactement ce qu'un prof a pu écrire... par exemple, que viennent faire les espaces $V_0$, $V_1$, etc. dans l'histoire ?

Bon, essayons quand même de donner des pistes si je comprend à peu près les questions :

a) i] Es-tu d'accord sur l'équivalence $\pi(y)=0 \, \Longleftrightarrow \,y\in H$ ?
Si oui, que signifie $x\in \mathrm{ker} (\pi \circ f)$ ?

a) ii] Si $g=0$, que vaut $\mathrm{ker}(g)$ ?

b) i] Dire $u\equiv v ~ \mathrm{mod}\, H$ signifie qu'il existe $h\in H$ tel que $u=v+h$. Dans ce cas, que peux-tu dire du style $f(u) = f(v) + ???$

Roro.

Hors ligne

#4 12-02-2020 16:34:57

mathilda12
Invité

Re : Montrer que l image réciproque d'un application est elle même

Bonjour Roro ,

My bad en effet cette énoncé la sert pour une partie un peu plus bas ( pour montrer que la dim(E) = E  mais avec laquelle je n'ai pas eu  de problème )

Merci beaucoup pour tes pistes je reviens vers toi une fois que j'ai rédigé. a tantôt .

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