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#1 10-02-2020 17:05:32
- Tmota
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Produit de deux groupes cycliques
Bonjour,
je dois montrer que si $G_1$ et $G_2$ sont deux groupes d'ordres respectifs m et n alors :
$pgcd(m,n)=1 \Leftrightarrow G_1\times G_2$ cyclique.
Voici ce que j'écris :
$\Rightarrow$
$G_1$ étant cylclique d'ordre m alors il est isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. De même $G_2\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Je montre que l'application $f:\dot{k}\in\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\to (\bar{k},\overset{\sim}{k})\in\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un morphisme de groupes injectif en utilisant le fait que $pgcd(m,n)=1$.
Puisque $card(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})=card(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times card(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, on en déduit que f est un isomorphisme.
Par suite, $G_1\times G_2\simeq\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
Or $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ par f.
D'où $G_1\times G_2\simeq\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ et donc $G_1\times G_2$ est cyclique d'ordre mn.
$\Leftarrow$
Cette fois on sait que $G_1\times G_2$ est cyclique.
On suppose, par l'absurde, que $pgcd(m,n)=d\ge 2$.
Alors il existe m' et n' premiers entre eux de sorte que $m=m'd$ et $n=n'd$.
D'où $pgcd(m,n)\times ppcm(m,n)=mn$.
Ce qui donne $d\times ppcm(m,n)=m'dn'd$ et donc $ppcm(m,n)=m'n'd=m'n=mn'<mn$.
On a $(x;y)^{ppm(m,n)}=(x^{ppm(m,n)};y^{ppm(m,n)})=(x^{mn'};y^{m'n})=(1;1)$.
Tout élément de $G_1\times G_2$ a un ordre strictement inférieur à mn. Absurde.
Qu'en pensez-vous ?
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#2 10-02-2020 23:13:41
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Produit de deux groupes cycliques
Bonjour,
Je pense que tu as oublié comme hypothèse que $G_1$ et $G_2$ sont cycliques. Pour le sens direct, connais-tu le théorème chinois qui pourrait simplifier la preuve?
F.
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#3 13-02-2020 22:57:29
- Tmota
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- Messages : 113
Re : Produit de deux groupes cycliques
Je ne l'ai pas encore revu, mais je le reprends bientôt !
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