Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tyup

Invité

Courbe de lissajous

Bonjour,
Je cherche la démonstration du cas où le coefficient a est irrationnel pour les courbes paramétrées de la forme (sin(t),sin(at)). Ce cas donne si j'ai bien compris la densité de la courbe dans  le carré unité .
Il y a t il une lien avec les sous groupe du cercle unité?
Merci d'avance et bonne journée.

Skycoca

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Re : Courbe de lissajous

Bonjour !

La démonstration de quel résultat ?

raphael.thiers

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Re : Courbe de lissajous

Bonjour,
ça me parait bizarre ... j'ai certainement pas bien compris ...

prenons un point du carré unité $(x_0,y_0)$  alors
il existe $t_0$ dans [0,2pi[ tel que $ sin(t_0) = x_0$ ;
partons sur $t_0 \neq0$
dans ce cas $ arcsin(y_0)/t_0$ est un réel donc limite d'une suite d’irrationnels  $a_n$ (puisque les irrationnels sont denses dans les réels).
Donc $(x_0,y_0)$ est donc limite de $(sin(t_0),sin(a_nt_0))$ où  $a_n$  décrit une suite d'irrationnels

C'est donc trivial ...

Tyup

Invité

Re : Courbe de lissajous

Je donne un exemple parce que a est un entier fixe, ce n'est pas une suite:

Courbe paramétré  définie par f(t)= (sin(t),sin(2t))  2 n'est pas irrationnel donc la courbe n'est pas dense dans le carré unité.
                                         $g(t)=(sin(t),\sqrt{2}*sin(t))$ $\sqrt{2}$ est irrationnel donc la courbe est dense dans le carré unité.

Ma question est donc pourquoi le fait que a soit irrationel implique la densité de la courbe.
Voir sur le site ;  http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ajous.html

Bonne soirée.

Tyup

Invité

Re : Courbe de lissajous

J'ai mal placé la Racine de 2 dans mon message précédent.
Je pense avoir la solution, il faut juste que je rédige ça au propre
Merci pour l'aide

Tyup

Invité

Re : Courbe de lissajous

Je donne mon idée pour résoudre le problème dans le cas $a=\sqrt{2}$
Pour se rappocher du point $(x;y)$   de $[-1;1]*[-1;1]$:

1. Je choisis T tel que $sin(t)=x$
2. Tous les $2*\pi*n+T$ avec n dans Z l'abscisse du point de la courbe sera $x$.
3. La suite $sin(\sqrt{2}*(T+2*n*\pi))$ est dense dans $[-1;1]$ car le rapport $\frac{\sqrt{2}*2*n*\pi}{2*\pi}$ est irrationnel.
Ce qui termine la preuve.

La partie 3. vient du lien entre les sous groupes de R et les sous groupes du cercle.

Si quelqu'un a le temps de valider je le remercie d'avance.
Bonne journée.

Tyup

Invité

Re : Courbe de lissajous

Il faut enlever le n dans le rapport.

raphael.thiers

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Messages : 37

Re : Courbe de lissajous

Bonsoir,
c'est juste il me semble.
Pour plus de clarté il faut peut être rajouter que l'application de projection du cercle unité sur [-1,1] est continue donc, la densité sur le cercle unité => densité sur [-1,1].