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#1 28-01-2020 16:57:50

Skycoca
Membre
Inscription : 28-01-2020
Messages : 3

Convergence en loi de l'inverse d'une somme

Bonjour !

J'ai une suite de variables aléatoires [tex](X_1,X_2,...,X_n)[/tex] qui suivent toutes la loi géométrique de même paramètre [tex]p[/tex]. Les variables sont indépendantes 2 à 2.
On note [tex]S_n = \sum{X_i}, \;\; Y_n = \frac{n}{S_n}[/tex] Aussi on pose [tex]\overline{X_n}=\frac{1}{Y_n}[/tex]

On pose ensuite [tex]T_n=\frac{Y_n - p}{\sqrt{\frac{p^2 q}{n}}}[/tex]

La première question était de démontrer que [tex]\overline{X_n}[/tex] était un estimateur sans biais de [tex]\frac{1}{p}[/tex], et de calculer son risque quadratique. C'est fait.

Maintenant la question qui me bloque : démontrer que [tex]T_n[/tex] converge en loi vers la variable [tex]T[/tex] suivant la loi normale centrée réduite.
Remarquez que les fonctions caractéristiques ne sont pas vues, on n'a pas le droit de les utiliser.

Je n'arrive pas à écrire [tex]Y_n[/tex] comme une somme ou comme une moyenne pour appliquer le TCL. Si je pars du TCL appliqué à Xn ou Sn, en écrivant la convergence simple de la fonction de répartition, je me retrouve avec une fonction de répartition de Yn mais en un argument fonction de n, du coup je n'arrive pas à revenir vers la définition de la convergence en loi.

Si j'écris [tex]Y_n[/tex] comme une somme (téléscopique), je n'arrive plus à démontrer l'indépendance. Et même si j'y arrivais, calculer l'espérance et la variance dans ce cas pour les termes de la somme paraît compliqué.

Ca fait qqes jours que je suis sur cette question, j'ai même creusé du côté de la loi de Pascal/Binom-négative.

Tout le reste du problème (bidouillages d'analyse, estimateurs, intervalles de confiance) je l'ai fait. Mais cette question (la 2ème du problème!) je n'y arrive toujours pas :/


De l'aide serait vraiment la bienvenue, merci d'avance !!!!

Dernière modification par Skycoca (28-01-2020 18:57:09)

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