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#26 27-01-2020 11:59:43

Zebulor
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Messages : 830

Re : Intégrale impropre

Rebonjour,
concernant l'intégrale : [tex]3)\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex], je me dois de te répondre partiellement dans un premier temps pour donner les grandes lignes :
Il y a selon moi 4 études à faire :
1)en 0 par valeurs supérieures
2) en 1 par valeurs inférieures
3) en 1 par valeurs supérieures
4) en plus l'infini
Compte tenu d'une discontinuité en 1, la fonction n'est pas Riemann intégrable sur $\mathbb R^{+}$, mais l'intégrale converge, ce que je te montrerai dès que j'aurai le temps...

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#27 27-01-2020 17:30:12

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 830

Re : Intégrale impropre

Re,
on peut d'abord s'intéresser à : $(1-x)^{2/3}$ qu'on écrit exp($\frac {2}{3}$$ln|1-x|$) parce qu'il faut garder la valeur absolue…
On distingue suivant les cas :
Si x<1 : $(1-x)^{2/3}$ =exp($\frac {2}{3}$$ln(1-x)$)
si x>1  $(1-x)^{2/3}$ =exp($\frac {2}{3}$$ln(x-1)$)

A partir de là :
En 0 par valeurs supérieures l équivalent de la fonction à intégrer que j'appelle $f$ est $\frac {1}{x^(3/4)}$. Par comparaison avec une intégrale de Riemann sur lintervalle [0;1], l'intégrale converge en 0 car 3/4<1.

En 1 par valeurs inférieures :
[tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex] converge en 1 par valeurs inférieures si et seulement si  [tex]\int_{0}^{1}{\frac{1}{(1-x)^{2/3}}dx}[/tex] converge. Par changement de variable avec une translation sur lintervalle [0;1], il y a convergence par comparaison avec une intégrale de Riemann (2/3<1)

En 1 par valeurs supérieures : [tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex] converge en 1 par valeurs supérieures si et seulement si  [tex]\int_{1}^{C}{\frac{1}{(x-1)^{2/3}}dx}[/tex] converge. C'est le cas donc il y a donc convergence en 1 par valeurs supérieures. (Riemann toujours après translation sur [0;1])

En ${+\infty}$ : un critère $x^2*f(x)=o(1/x^2)$ aboutit à la convergence de l'intégrale [tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex].

Conclusion : cette intégrale [tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex] converge. Quant à son calcul c'est une autre histoire..

J'écrivais dans un post que j'ai effacé - parce que c'est faux - que la fonction qu'on intègre sur l'ensemble des réels positifs doit être définie partout sur cet ensemble pour être intégrable.
En l occurrence dans cet exemple 3, $f$ n 'est pas définie en 1 mais l'intégrale 3) existe.
Par contre $f$ est définie et Riemann intégrable sur $]0;1[$  $\bigcup$  ]1; $+\infty$ [

Dernière modification par Zebulor (11-02-2020 05:35:48)

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