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#1 24-01-2020 11:05:06

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonjour,

$A$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ et $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$. Je dois montrer que :

$tr(A)=\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>$

.

Voilà ce que j'ai écrit :

Je note $A=(a_{ij})_{i,j}$.
Alors $Ae_i=c_i$ où $c_i$ représente la i-ème colonne de la matrice A.
Et alors $<Ae_i,e_i>=<c_i,e_i>=a_{ii}$.

Par conséquent $\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>=\sum_{i=1}^na_{ii}=tr(A)$.

Cela me paraît correct.
Qu'en pensez-vous ?

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#2 24-01-2020 16:15:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 409

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonjour,

  Ce n'est pas tout à fait correct. Qu'est-ce qui te dit que $A e_i=c_i$? Ce serait vrai si $(e_1, \dots,e_n)$ était la base canonique de $\mathbb R^n$, mais rien ne te dit cela.
Je pense que c'est plus compliqué que cela, et qu'il faut utiliser un changement de base entre la base canonique et la base orthonormée donnée par l'énoncé.

F.

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#3 24-01-2020 21:46:03

raphael.thiers
Membre
Inscription : 24-01-2020
Messages : 15

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonsoir,

On peut passer d'une base orthonormée $(u_i)$  à une autre base orthonormée $(e_i)$ par une matrice de passage orthogonale ($P^{-1}=^tP$)
donc si  $A=^tPBP$ et $ u_i = Pe_i$
on a   $ <Ae_i | ei> = <^tPBPe_i |^tPu_i> =  <^tPBu_i |^tPu_i>=^tu_i^tBP^tPu_i=^tu_i^tBu_i=<Bu_i | u_i>$
de plus Tr(MN)=Tr(NM) on en déduit que Tr(A)=Tr(B)

Donc la preuve que tu as faite sur la base canonique s'étend à n'importe quelle base orthonormée

Raphaël

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#4 25-01-2020 12:22:10

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Je vois.

Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$.
Je note $B=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
Je note $B'=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
Je note $P$ la matrice de passage de la base $B$ à $B'$.

Avec ces notations :
$A=(a_{ij})$ est la matrice d'un endomorphisme $f\in L(E)$ dans la base $B'$ (c'est le choix de l'énoncé).
$B=(b_{ij})$ est la matrice de ce même endomorphisme dans la base $B$.

Alors on a $A=P^{-1}BP$ et donc $<Ae_i,e_i>=<P^{-1}BPe_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>$.

Pour montrer cette dernière égalité, on utilise :
1) $P$ est une matrice de passage d'une base canonique à une base orthonormée alors P est orthogonale et donc $P^{-1}=^tP$.
2) $<U,V>=^tUV$ où $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes.

On poursuit en écrivant que $Pe_i=e_i$.

Donc : $<Ae_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>=<Be_i,e_i>$.

Cette fois on peut écrire que $Be_i=c_i$ où $c_i$ est la ième colonne de la matrice B et donc $<Ae_i,e_i>=<Be_i,e_i>=<c_i,e_i>=b_{ii}$.

On en déduit alors que $\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>=\sum_{i=1}^nb_{ii}=tr(B)$.

Et par invariance de la trace par changement de base, on a :
$tr(A)=tr(B)=\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>$.

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#5 25-01-2020 15:39:24

raphael.thiers
Membre
Inscription : 24-01-2020
Messages : 15

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Attention tu t'es emmelé avec  tes  bases
c'est $Pe_i=u_i$ et non . $Pei=ei$ .

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#6 25-01-2020 16:29:35

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Arf oui.
Je corrige.


Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$.
Je note $\mathcal{B}=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
Je note $\mathcal{B'}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
Je note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$.

Avec ces notations :
$A=(a_{ij})$ est la matrice d'un endomorphisme $f\in L(E)$ dans la base $\mathcal{B}'$ (c'est le choix de l'énoncé).
$B=(b_{ij})$ est la matrice de ce même endomorphisme dans la base $\mathcal{B}$.

Alors on a $A=P^{-1}BP$ et donc $<Ae_i,e_i>=<P^{-1}BPe_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>$.

Pour montrer cette dernière égalité, on utilise :
1) $P$ est une matrice de passage d'une base canonique à une base orthonormée alors P est orthogonale et donc $P^{-1}=^tP$.
2) $<U,V>=^tUV$ où $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes.

On poursuit en écrivant que $Pe_i=u_i$.

Donc : $<Ae_i,e_i>=<BPe_i,Pe_i>=<Bu_i,u_i>$.

Cette fois on peut écrire que $Bu_i=c_i$ où $c_i$ est la ième colonne de la matrice B et donc $<Ae_i,e_i>=<Bu_i,u_i>=<c_i,u_i>=b_{ii}$.

On en déduit alors que $\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>=\sum_{i=1}^nb_{ii}=tr(B)$.

Et par invariance de la trace par changement de base, on a :
$tr(A)=tr(B)=\sum_{i=1}^n<Ae_i,e_i>$.

Qu'en pensez-vous ?

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#7 26-01-2020 11:07:55

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonjour,

une interrogation en me levant ce matin.

Ca ne serait pas plutôt $Pu_i=e_i$ ?

Vu que, avec mes notations, P est la matrice de passage de la base $\mathcal{B}=(u_1,...,u_n)$ (base canonique de $\mathbb{R}^n$) à  la base orthonormée $\mathcal{B'}=(e_1,...,e_n)$.

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#8 26-01-2020 15:19:20

raphael.thiers
Membre
Inscription : 24-01-2020
Messages : 15

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonjour,

Non , ta première version est la bonne
cf http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ssage.html

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#9 26-01-2020 16:51:10

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Je n'arrive finalement pas à le voir :/

Les notations sont les suivantes :
$\mathcal{B}=(u_1,...,u_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
$\mathcal{B'}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$.
$P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$.

Alors :
$$\begin{matrix}
&&&e_1& \cdots && e_n\\
\end{matrix}$$
$$
P=
\begin{pmatrix}
p_{11}&\cdots&p_{1n}\\
\vdots &\ddots&\vdots \\
p_{n1}&\cdots&p_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
u_{1}\\
\vdots\\
u_{ n }
\end{matrix}$$

C'est bien cela ?

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#10 27-01-2020 14:44:36

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Formule de la trace d'une matrice avec un produit scalaire

Bonjour,

problème résolu en revenant à la définition :

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}X_{\mathcal{B'}}=X_{\mathcal{B}}$

où $X$ est une matrice colonne.
Merci pour l'aide !

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