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#1 26-01-2020 15:48:29

martiflydoc
Membre
Inscription : 20-10-2019
Messages : 51

Suite CV implique de Cauchy

Bonjour, je ne parviens pas à trouver le problème de mon raisonnement ici.

On considère R[X] muni de la norme infini : //P// = sup {/ak/, k ∈ N}, et la suite de polynômes Pn = X^n.

Pour cette norme, la suite (Pn) est convergente : //Pn// = 1 --> 1 lorsque n-->+∞

Mais si on considère n,p ∈ N, j'ai //Pn - Pp// = //X^(p) - X^n// = 1 (dès lors que que n ≠ p) et qui ne tend pas vers 0 lorsque (n,p) -->+∞. Ainsi, pour moi, cette suite n'est pas de Cauchy pour cette norme.

Or toute suite convergente est de de Cauchy non ?

Merci

Dernière modification par martiflydoc (26-01-2020 15:52:23)

Hors ligne

#2 26-01-2020 16:13:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 409

Re : Suite CV implique de Cauchy

Bonjour,

  Que la norme de la suite soit constante n'implique pas que la suite est convergente.
Par exemple, la suite $(-1)^n$ ne converge pas. Pour autant, sa norme (sa valeur absolue) est toujours égale à 1.

F.

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#3 26-01-2020 17:02:43

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 19

Re : Suite CV implique de Cauchy

Bonjour,

Une suite convergente n'est pas forcément de Cauchy. Je tente une explication "avec les mains".
Dans la convergence (non de Cauchy), quelque soit $\epsilon$  on peut trouver un rang $n_0$ et à partir de ce rang  il y a convergence , aussi petit que soit l'intervalle autour de la limite les valeurs vont finir par y être.

$\forall\epsilon>0$,$\ \exists n_0 $,$\ \forall n > n_0,\ |u_n - l| < \varepsilon$


Pour Cauchy, on a quelque soit $\varepsilon$, à partir d'un certain rang $n_0$ , si on prend "deux indices", aussi petit que soit l'intervalle la différence entre deux valeurs de la suite va y être.

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_\varepsilon,\ \forall p,q > n_\varepsilon,\ |u_p - u_q| < \varepsilon$

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#4 26-01-2020 17:53:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 317

Re : Suite CV implique de Cauchy

Bonsoir,
@LCTD il va falloir relire tes cours, parce que ceci est le béaba des espaces complets, une suite convergente est de Cauchy, mais pas forcément l'inverse sauf si l'on se trouve dans un espace complet (ce qu'est $(\mathbb{R}, \mid \cdot \mid)$ par exemple).

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#5 26-01-2020 19:58:06

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 19

Re : Suite CV implique de Cauchy

Bonjour,

@Maenwe, oui c'est le béaba des espaces complets. Je pense que je n'avais pas compris la question posée par Martiflydoc. Sorry d'avoir fait non approprié.

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#6 26-01-2020 19:59:12

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 19

Re : Suite CV implique de Cauchy

Erratum : Sorry d'avoir fait un post non approprié.

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