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#1 25-01-2020 12:32:24

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Un produit scalaire déjà connu ?

Bonjour,

dans un exercice, je dois montrer que :

$(A,B)\in M_n(\mathbb{R})^2\to tr(^tAB)$

est un produit scalaire.

Je note :
$A=(a_{ij})$
$^tA=(a'_{ij})$ avec $a'_{ij}=a_{ji}$
$B=(b_{ij})$

Alors, par définition du produit matriciel, en notant $C=^tAB=(c_{ij})$, on a :

$c_{ij}=\sum_{k=1}^na'_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^na_{ki}b_{kj}$

Par suite :

$tr(^tAB)=tr(C)=\sum_{i=1}^nc_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^na_{ki}b_{ki}=\sum_{i,k=1}^na_{ki}b_{ki}$

Cette expression est connue comment étant le calcul du produit scalaire canonique. Et donc je peux que l'application proposé est bien un produit scalaire.

Le doute que je peux avoir est que je ne passe pas par la définition de montrer que l'application est une forme bilinéaire définie positive.

Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Tmota (25-01-2020 12:34:02)

Hors ligne

#2 26-01-2020 11:19:37

raphael.thiers
Membre
Inscription : 24-01-2020
Messages : 15

Re : Un produit scalaire déjà connu ?

Bonjour,

De mon point de vue ça peut passer;
mais prouver qu'elle est symétrique définie positive est très rapide également (avec des calculs tres proches des tiens).

Hors ligne

#3 26-01-2020 16:53:26

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 49

Re : Un produit scalaire déjà connu ?

Merci de la réponse.
J'ai écris les deux méthodes.
L'une permet de gagner énormément de temps, l'autre est plus rigoureuse disons.

Mais je n'arrive pas à me convaincre que la plus rapide est aussi rigoureuse.

Hors ligne

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