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#1 26-01-2020 16:48:29
- martiflydoc
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Suite CV implique de Cauchy
Bonjour, je ne parviens pas à trouver le problème de mon raisonnement ici.
On considère R[X] muni de la norme infini : //P// = sup {/ak/, k ∈ N}, et la suite de polynômes Pn = X^n.
Pour cette norme, la suite (Pn) est convergente : //Pn// = 1 --> 1 lorsque n-->+∞
Mais si on considère n,p ∈ N, j'ai //Pn - Pp// = //X^(p) - X^n// = 1 (dès lors que que n ≠ p) et qui ne tend pas vers 0 lorsque (n,p) -->+∞. Ainsi, pour moi, cette suite n'est pas de Cauchy pour cette norme.
Or toute suite convergente est de de Cauchy non ?
Merci
Dernière modification par martiflydoc (26-01-2020 16:52:23)
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#2 26-01-2020 17:13:22
- Fred
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- Messages : 7 035
Re : Suite CV implique de Cauchy
Bonjour,
Que la norme de la suite soit constante n'implique pas que la suite est convergente.
Par exemple, la suite $(-1)^n$ ne converge pas. Pour autant, sa norme (sa valeur absolue) est toujours égale à 1.
F.
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#3 26-01-2020 18:02:43
- LCTD
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Re : Suite CV implique de Cauchy
Bonjour,
Une suite convergente n'est pas forcément de Cauchy. Je tente une explication "avec les mains".
Dans la convergence (non de Cauchy), quelque soit $\epsilon$ on peut trouver un rang $n_0$ et à partir de ce rang il y a convergence , aussi petit que soit l'intervalle autour de la limite les valeurs vont finir par y être.
$\forall\epsilon>0$,$\ \exists n_0 $,$\ \forall n > n_0,\ |u_n - l| < \varepsilon$
Pour Cauchy, on a quelque soit $\varepsilon$, à partir d'un certain rang $n_0$ , si on prend "deux indices", aussi petit que soit l'intervalle la différence entre deux valeurs de la suite va y être.
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_\varepsilon,\ \forall p,q > n_\varepsilon,\ |u_p - u_q| < \varepsilon$
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#4 26-01-2020 18:53:54
- Maenwe
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Re : Suite CV implique de Cauchy
Bonsoir,
@LCTD il va falloir relire tes cours, parce que ceci est le béaba des espaces complets, une suite convergente est de Cauchy, mais pas forcément l'inverse sauf si l'on se trouve dans un espace complet (ce qu'est $(\mathbb{R}, \mid \cdot \mid)$ par exemple).
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#5 26-01-2020 20:58:06
- LCTD
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- Messages : 85
Re : Suite CV implique de Cauchy
Bonjour,
@Maenwe, oui c'est le béaba des espaces complets. Je pense que je n'avais pas compris la question posée par Martiflydoc. Sorry d'avoir fait non approprié.
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#6 26-01-2020 20:59:12
- LCTD
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- Messages : 85
Re : Suite CV implique de Cauchy
Erratum : Sorry d'avoir fait un post non approprié.
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