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#1 17-01-2020 15:38:15

algebreanal
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Messages : 4

partie entière

bonjour je bloque sur cet exo concernant la partie entier
pour tout x appartenant a R
1.montrer qu'il existe un unique p  appartenant a  (0,1,......,n-1) tel que
x+p/n <E(x)+1<x+(p+1)/n
2.en deduire que
nE(x)+n-p-1<nx<nE(x)+n-p
3.calculer E(x+k/n) pour k appartenant a (0,.....p) et pour k appartenant a (p+1 ,.....n-1)
4.en coupant la somme Σ E(x+k/n) en deux (k varie entre 0 et n-1) montrer que E(x+k/n)=E(nx)

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#2 18-01-2020 17:52:40

Maenwe
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Messages : 317

Re : partie entière

Bonsoir,
Qu'as tu fais ? Sur quoi bloques tu ?

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#3 19-01-2020 19:16:18

algebreanal
Membre
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Messages : 4

Re : partie entière

Maenwe a écrit :

Bonsoir,
Qu'as tu fais ? Sur quoi bloques tu ?

J'ai rien pu faire c'est tres difficile je trouve

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#4 19-01-2020 20:21:57

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 317

Re : partie entière

Bonsoir,
pour la première question il faut utiliser une idée assez importante que je te conseille de comprendre, c'est celle de maximum, je sais ça semble un peu primitif et naïf comme notion mais tu vas voir que cette notion a des conséquences assez forte.
Tout d'abord je supposes que tu es d'accord pour dire que $x < E(x)+1$ ?
Bon et bien, on veut au moins que ton $n$ vérifie cette inégalité : $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$, première question à se poser : Est-ce que ce $n$ existe ? (je te laisse y répondre).
Pour continuer tu dois d'abord répondre à cette question et je vais attendre que tu y répondes car sinon la suite de mes indications donne la réponse.

PS : Il y a une deuxième manière de résoudre cette question, je te la donnerai après que tu ais résolue cette façon de faire.

Dernière modification par Maenwe (19-01-2020 20:22:49)

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#5 26-01-2020 11:15:30

algebreanal
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Inscription : 17-01-2020
Messages : 4

Re : partie entière

bonjour
oui je suis d'accord pour le premier point mais pour le deuxieme point non n n'existe pas sauf s'il tend vers un nombre tres tres grand

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#6 26-01-2020 12:30:33

Maenwe
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Messages : 317

Re : partie entière

Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment ta réponse, soit un tel $n$ existe soit il n'existe pas... Qui plus est je n'ai pas imposé d'autres conditions sur $n$ que celui d'être un entier naturel et de vérifier l'inégalité que j'ai écrit plus haut. Tout ce que je t'ai demandé c'est s'il existe un tel entier, grand ou pas.
Donc comme tu l'as dit en faisant tendre $n$ vers un nombre très grand on a une telle inégalité, mais ça reste un peu vague comme justification, je t'en propose donc deux différentes :

1 - Puisque vérifier $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$ revient à vérifier $n > \frac{1}{E(x) + 1 - x}$ il suffit de prendre $n = E(\frac{E(x) + 1 - x})+1$, on a alors que $n \in \mathbb{Z}$ et $n > 0$ le premier point est évident (pour toi aussi ?) et le deuxième l'es un peu moins, cela provient du fait que $E(x) + 1 - x > 0$ (car $E(x) + 1 > x$) et donc $\frac{1}{E(x) + 1 - x} > 0$ et donc $E(\frac{1}{E(x) + 1 - x}) \geq 0$. Donc puisque $n = E(\frac{1}{E(x) + 1 - x}) + 1 > \frac{1}{E(x) + 1 - x}$, on a bien que $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$.

2 - Puisque $x < E(x) + 1$ il existe donc un réel $a > 0 $ tel que $x+a = E(x) + 1$ (en posant $a=E(x) + 1 - x > 0$) donc, $x + \frac{a}{2} < x + 2.\frac{a}{2} = x+a = E(x) + 1$. Soit maintenant $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $n \geq \frac{2}{a}$, donc $x + \frac{1}{n} \leq x + \frac{a}{2} < E(x) + 1$.

Rq sur la denière preuve : On aurai pu faire beaucoup plus court en disant que puisque $x < E(x) + 1$ il existe $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$, c'est quelque chose de plutôt intuitif et pas si compliqué que ça a montré donc en général, je pense que ce genre d'argumentation suffit.

Pour la suite des opérations, prends cet ensemble : $A = \{ k \in \mathbb{N}^{*} \mid \frac{k-1}{n} < E(x) + 1 \}$ et justifie qu'il en existe un maximum.

Dernière modification par Maenwe (26-01-2020 12:31:22)

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