Derivation , Etude d'une tangente particuliere

Johns · 25-01-2020 17:11:53

Bonjour , est ce que c'est possible de m'aider dans un exercise :

Dans un repere orthonormé , C est la courbe representative de la fonction f definie sur R par :
f(x) = -x⁴ +2x² + x

Demontrez que la tangente T a la courbe C au point A d'abscisse -1 est aussi tangente en un autre point a preciser

Alors ce que j'ai fait (j'ai juste resumé ici , mais c'est plus developpé dans la copie )
:
l'equation de la tangente , y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
avec f'(x) = -4x³ + 4x +1
f'(-1)= 1
f(-1)=0
soit l'equation y= x+1 .

Ensuite je bloque , en faite j'allais etudier les positions relatives mais cela ne me parais pas juste .

Merci de bien vouloir me guider dans la resolution .

yoshi · 25-01-2020 17:31:11

Bonjour,

Ce que tu as fait est juste, mais tu n'en doutais pas.
Donc, poursuivons...
Je ne sais pas ce que tu entends par "étudier les positions relatives", mais probablement est-ce la même idée que celle que je vais te suggérer.
(Je viens d'aller au bout : 1 min de calcul).
Chercher les coordonnées des points d'intersection de la courbe d'équation $y=-x^4+2x^2+x$ et de la droite d'équation $y=x+1$...
Tu vas retrouver (-1 ; 0) dont tu sais que c'est un point de tangence.
Et les coordonnées d'un deuxième point dont tu devras justifier que c'est aussi un point de tangence (et et pas en disant : parce que c'est écrit dans l'énoncé)

@+

Yohnss · 25-01-2020 17:58:59

Merci pour votre reponse ,
En effet j'ai poursuivis et j'ai fait :
f(x)-(x+1)= -x⁴ +2x² -1 .
je comptais trouver le discriminant qui donne 8
avec a = -1 et b=0 et c=2
Sauf qu'en cours on a jamais fais et travaillé sur un polinome du "quatrieme degré" , car on a juste fais au 2eme degré
Pour ensuite trouver les solutions , soit racines de la fonction.
Mais j'ai reussi a trouver 2 racines evidentes a l equation
-x⁴ +2x² + 1 , qui valent 1 et -1
Ceci je l'ai trouvé grace a la calculatrice , mais vous pensez que c'est suffisant pour l'exercice , ou faut montrer sa d'une maniere plus complexe?

Merci de bien vouloir me repondre

Dernière modification par Yohnss (25-01-2020 18:30:00)

72Messo10 · 25-01-2020 18:29:44

Slt si tu veux résoudre une equation du 4 ème degré sans x^3 il faut poser X=x^2 et ensuite résoudre le polynôme du second degré que tu trouves et à la fin prendre les racines des solutions cela s'appelle les équations bicarrees.

yoshi · 25-01-2020 18:54:21

Bonsoir,

Discriminant ? Sur un polynôme du 4e degré ????
Il se trouve que là, il est utilisable, moyennant une petite manipe préalable, que tu n'as pas vue comme le prouve ton texte...
Par acquit de conscience, peux-tu me rappeler d'où sort le discriminant d'un polynôme du 2nd degré ?
Autrement dit, pourquoi ce $b^2−4ac$ ? Il vient d'où ?
Ton prof a dû vous le montrer, il n'est pas arrivé un jour en vous disant :
Pour trouver les solutions éventuelles de l'équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ (et factoriser éventuellement le polynôme $ax^2+bx+c$ je vais vous apprendre à utiliser un objet mathématique nommé discriminant désigné par le symbole $\Delta$ et tel que :
$\Delta=b^2-4ac$ ?
Alors, d'où vient ce $b^2-4ac$ ?

Revenons maintenant à nos moutons...
Pas de complexité.
72Messo10 a raison, mais si tu l'écoutes tel quel, tu vas te faire taper sur les doigts : tu ne dois pas utiliser des trechniques et du vocabulaire que tu n'as jamais vus...
Regarde plutôt ;
$-x^4+2x^2-1=-(x^4-2x^2+1)$
Tu ne repères pas dans la parenthèses une identité remarquable vue en 3e ?
Ah oui, tu vas me dire qu'en 3e tu n'as jamais vu des identités remarquables avec des $x^4$, c'est dommage...
Mais il ne faut pas en avoir peur...
Ça ne ne ressemble pas à $X^2-2X+1=(X-1)^2$ ?

Si, bien sûr, alors il suffisait de voir que $-x^4+2x^2-1=-(x^4-2x^2+1)=-[$$(x^2)$$^2 -2$$(x^2)$$+1]$

Allez, factorise donc $-(x^4-2x^2+1)$, quand ce sera fait, tu pourras factotiser une deuxième fois en utilisant une deuxième identité remarquable et celle-là, tu ne peux pas ne pas la voir...

@+

johnns · 25-01-2020 19:57:57

Bonjour

Je trouve : -(x-1)² (x+1)

johnnss · 25-01-2020 19:59:22

**** -(x-1)² (x+1)²

yoshi · 25-01-2020 20:07:51

Ren

Facile de savoir que tu asb oublié d'écrire un petit quelque chose :
Si tu développes $(x-1)^2(x+1)$ tu dois retrouver ta forme dé départ. Et ce n'est pas le cas...
Donc rectifie et je te dirai : oui, c'est bon...

Donc, maintenant, petite question : pourquoi ta forme (quand elle sera rectifiée) te permettra-t-elle de déduire que $x=1$ et $x=-1$ ne sont pas des points d'intersection mais des points de tangence ?

Et j'attends que tu me dises d'où vient le discriminant. Un mathématicien ne l'a quand même pas vu en rêve...
Ton silence veut-il dire que tu n'en sais rien, que tu as oublié ?

@+

johnnns · 25-01-2020 20:28:48

Bonjour
Car (x+1)² -> x+1=0 donc x=-1
et (x-1)² --> x-1=0 x=1

C'est correcte si j'ecris sa dans la copie ?

yoshi · 25-01-2020 20:51:25

Re,

Et ce discriminant, alors il vient d'où ? Révélation divine ?

Bon, oui et non.
Oui parce que calculs justes.
Non, parce que tu n'as en rien justifié que ce n'était pas seulement un point d'intersection mais un point de tangence...
Le fait que $(x-1)^2=0$, et pas seulement $x-1=0$ t'inspire quoi ?
Si la courbe était coupée en quatre points, ton équation finale aurait cet aspect $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$
Là, c'est $(x-1)^2(x+1)^2=0$, alors ?

@+

johnnns · 25-01-2020 21:12:54

C'est pas la troisieme identité remarquable?
(a+b)(a-b) = a² -b²

Desole pour deranger , mais pouvez vous me guider un peu plus , je demande pas la reponse mais juste la demarche un peu , desole pour ceci , mais c'est tres tres urgent ,merci beaucoup.

Dernière modification par johnnns (25-01-2020 21:21:05)

yoshi · 25-01-2020 21:24:58

Pffff... quelle horreur !

je vais prendre un exemple
$f(x)=x^2-4x+3$ J'appelle $C_f$ sa courbe représentative.
Combien de point(s) d'intersection cette courbe a-t-elle avec la droite d'équation $y = -1$ ?

Après on revient au sujet : ça va t'éclairer...

@+

johnnns · 25-01-2020 21:33:00

elle en a 2 , 2+racine de 2 et 2- racine de 2
??

yoshi · 25-01-2020 21:44:36

Nan
$x^2-4x+3=-1\iff x^2-4x+4=0$
Continue...
(Si tu n'es pas capable de factoriser ça, je te renvoie direct en 3e...)

johnnns · 25-01-2020 21:54:33

(x-2)² ?

yoshi · 25-01-2020 22:01:04

Oui
Tu dois donc résoudre l'équation $(x-2)^2=0$
Tu as combien de réponse(s) ?
Alors point d'intersection ou de tangence ?

Je vais manger et je reviens (pas longtemps)...

johnnns · 25-01-2020 22:23:48

Il y a n'a 1 : 2 ?
Tangente ?

yoshi · 25-01-2020 23:03:06

Bin oui...
Maintenant supposons que l'équation de cette droite qui passe par (2;-1), soit $y=mx+(-1-2m)$ point fixe que j'appelle S comme sommet parce que c'est le sommet de cette parabole (cf cours de 2nde) et j'ajoute sur une branche de la parabole un 2e point qui doit rester sur la parabole mais qui va se déplacer si je modifie le coeff. dir. de (ST).
Clairement tu as une sécante et au lieu de $(x-1)^2=0$ tu as quelque chose comme $(x-2)(x-x_2)=0$ : deux solutions, deux points d'intersection.

Et je décide de balader ce point sur la parabole, de le descendre vers S...
Que fait la droite (ST) ? Elle doit continuer de passer par S avais-je S. Tant que T n'est pas sur S, il y a deux points d'intersection, j'ai toujours une sécante...
Et quand les coordonnées de T deviennent (2 ; -1) que devient T ? Il est confondu avec S...
Et les deux points d'intersection ne font plus qu'un : un point double...
La sécante est devenue une tangente.
Et l'équation à résoudre est devenue $(x-2)^2=0$ Il y a une solution double ! comme quand $\Delta=0$...
D'ailleurs, si on ne factorise pas, avec $x^2-4x+4=0$ on a bien $\Delta=16-4\times 1\times 4=16-16=0$

Tu vois où je veux en venir ?

Tu pars d'une sécante à une courbe : 2 points d'intersections abscisses données par $a(x-x_1)(x-x_2)=0$,
Tu rapproches le point d'abscisse $x_2$ (en restant sur la courbe) du point d'abscisse $x_1$ restant fixe : lorsque les 2 points seront superposés il y aura 2 points sur un seul, un point double une tangente et un carré=0...

Voilà pourquoi, pour en revenir à ton sujet, puisque $(x-1)^2(x+1)^2=0$, il y a deux solutions doubles x_=-1 et x=1...
Deux solutions doubles, donc deux points de tangence...

Ça y est ?

A demain.

johnnns · 26-01-2020 00:57:13

Bonsoir

Merciii enormement , vous avez eté de grande aide , par contre les seuls soucis que je m'apparente a ce moment la, c'est la redaction , car je ne sais pas comment expliquer mon calcule par fait par rapport aux " l'intersection "

yoshi · 26-01-2020 10:34:02

Salut,

Pas question que tu racontes tout ça...
J'aurais pu prendre l'exemple du cercle, tu traces une sécante qui le coupe en deux points .
Si tu as l'équation du cercle et l'équation de la droite, tu peux calculer (pas cette année) les abscisses des points d'intersection :
sécante --> 2 points d'intersection --> 2 abscisses différentes.
Tu prends l'un des points et tout en restant sur le cercle, tu te le déplaces vers l'autre, : ta sécante pivote autour de ce 2e point.
Lorsque le point baladeur (et baladé ^_^) coïncide avec l'autre , tu as un point double une seule abscisse - double - au lieu de deux. Et la sécante est devenue une tangente...

En résumé, ce que j'ai fait c'est te montrer que :
- Deux solutions différentes, c'est deux points différents
- Et donc que, une solution double, comme avec $(x-1)^2=0$ correspond au cas où les deux points sont confondus : alors, il y a tangence...

Voilà, tu vois, il ne faut pas rester le nez dans le guidon, il faut se relever et voir les choses de façon plus globale. Après le résumé coule de source.
C'est Nicolas Boileau qui a écrit :
Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement
Et les mots pour le dire arrivent aisément.
A méditer.

On ne va pas dans ton cas, te fournir des explications trop bien léchées (trop parfaites), ça paraîtrait immédiatement louche à ton prof... Et c'est là qu'il risquerait de t'envoyer au tableau pour expliquer à tes camarades ce que tu as écrit...
Contente-toi d'expliquer que l'équation $(x-1)^2=0$ ayant une solution double, c'est donc que la solution est l'abscisse d'un point de tangence.

Si, par hasard, il te questionnait pour savoir comment tu y as pensé, tu pourrais lui dire :
- soit que l'équation $(x+1)^2=0$ a une solution double x=-1 et que l'énoncé présente le point d'abscisse -1 comme un point de tangence.
Donc tu t'es dis que puisque c'était vrai pour $(x+1)^2=0$, et que tu fais le même constat pour l'équation $(x-1)^2=0$ la conclusion était la même...
- soit que tu as vu,en développant, que $(x-1)^2=x^2-2x+1$ et $x^2-2x+1=0$ et que $\Delta=0$ solution double... Donc point de tangence.

Tu as besoin d'un logiciel graphique de qualité : disposes-tu de Geogebra ? Il est très bon, très performant et de plus gratuit.

@+

johnnns · 26-01-2020 14:03:21

Bonjour
Merciii beaucoupp , et bien sur , je connais geogebra , et je confirme totalement ce que vous dites !

Passez une tres bonne journée!!

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