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#1 08-01-2020 13:52:05

math@gmail.com
Membre
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Suites adjacentes

Bonjour.
Svp, je sollicite votre aide.
Pour montrer que deux suites sont adjacentes, la condition de la limite de la différence donne 0 est-elle obligatoire ?
Ou bien n'est-il pas possible de la remplacer par
Uₙ≤L≤Vₙ avec L la limite commune aux deux suites ?
Merci d'avance.

Dernière modification par math@gmail.com (08-01-2020 15:51:01)

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#2 08-01-2020 18:15:51

Maenwe
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Re : Suites adjacentes

Bonsoir,
Si tu sais déjà que tes deux suites possèdent une limite qu'elle est l'utilité de parler de suite adjacente ? L'intérêt principal (à ma connaissance) des suites adjacentes c'est justement qu'elle converge vers la même limite.

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#3 09-01-2020 21:12:52

math@gmail.com
Membre
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Messages : 13

Re : Suites adjacentes

Bonsoir !!!
Mais le problème est que dans l'exercice que j'ai ici il n'est pas mentionné que L est la limite.
C'est cette relation Uₙ≤L≤Vₙ qu'on a juste montrée. Et maintenant on demande de montrer que les deux suites sont adjacentes.

Dernière modification par math@gmail.com (09-01-2020 21:14:01)

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#4 09-01-2020 21:19:17

Zebulor
Membre
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Re : Suites adjacentes

Bonsoir,
Je me permets d intervenir  : est ce que le mieux ne serait pas que tu nous donnes l’intitulé exact de ton exercice ?

Dernière modification par Zebulor (09-01-2020 21:19:37)

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#5 10-01-2020 18:40:05

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 317

Re : Suites adjacentes

Bonsoir,
Je suis en parfait accord avec Zebulor ! Il manque un nombre quelques informations parce qu'en l'état des choses si $u_{n}$ (resp. $v_{n}$) est croissante (resp. décroissante) et vérifient : $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ alors ces deux suites ne sont pas forcément adjacentes, en voici un contre exemple : $u_{n} = L - 1 - \frac{1}{n}$ et $v_{n} = L + 1 + \frac{1}{n}$.

Dernière modification par Maenwe (10-01-2020 18:40:55)

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#6 17-01-2020 22:36:52

menjaoui
Membre
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Messages : 16

Re : Suites adjacentes

bonjour,
la condition lim(Un _ Vn) = 0 est obligatoire
si L est une limite commune à(Un  et  Vn ) , cela revient toujours au même . où est le problème ?
si vous commencez par la différence ou bien par calculer les limites séparément c'est tjrs pour montrer que les 2 suites sont adjacentes (n'oubliez pas que l'une croissante, l'autre décroissante).
( je m'adresse à math@ ,je crois que vous avez confondu L la limite commune et le ZÉRO de la différence ! ?  un malentendu comme on disait. )

je reviens au contre exemple donné par notre collègue : les 2 suites ne convergent pas vers la même limite L  mais L-1  et L+1 alors que dans l'énoncé cité plus haut L est une limite commune.


                                                                                                                                        A bientôt

Dernière modification par menjaoui (17-01-2020 23:21:58)

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#7 21-01-2020 08:35:17

math@gmail.com
Membre
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Messages : 13

Re : Suites adjacentes

Bonjour
On a posé   u_(n+1)=1+〖1/u〗_n et  α=(1+√5)/2 avec u_0=1
On nous dit maintenant de démontrer que pour tout entier n, on a :
u_2n≤α≤u_(2n+1) .
Ce qui a été fait.
J’ai démontré également que la suite (u_2n) est croissante et la suite 〖(u〗_(2n+1)) est décroissante.
Ce qui reste à montrer maintenant, c’est la limite de la différence qui doit donner naturellement 0.
Excusez-moi beaucoup pour les expression car je ne maîtrise pas le code latex.

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#8 21-01-2020 19:10:52

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 317

Re : Suites adjacentes

Bonsoir,
Pour être sûr, c'est bien comme ça qu'elle est définit ta suite : $u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ ?

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#9 24-01-2020 22:33:48

menjaoui
Membre
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Messages : 16

Re : Suites adjacentes

bonjour,
nous savons que toute suite croissante et majorée est convergente(propriété)

nous sommes en présence d'une suite $(U_{2n})$ remplissant ces conditions, elle est convergente.

en plus, $\forall n \in \mathbb N$  on a   $U_{2n} = f(U_{2n-1})$ alors sa limite L est solution de l'équation $f(x)=x$  (c'est une propriété sur les suites
récurrentes)

en faisant un petit calcul nous arrivons à calculer cette solution qui n'est rien d'autre  que $a=\frac{1+\sqrt 5}{2}$   ( une autre solution est à

exclure)

un raisonnement identique pour $U_{2n+1} \to  a$

finalement la différence des  deux sous suites tendent vers 0.          C.Q.F.D

Dernière modification par yoshi (25-01-2020 08:02:27)

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#10 25-01-2020 07:47:03

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 317

Re : Suites adjacentes

Bonjour,
J'ai un doute sur ton raisonnement @menjaoui,
tu écris :
"on a   U_2n = f(U_2n-1) alors sa limite L est solution de l'équation f(x)=x"
Sauf que cette argument à ce niveau là de ta preuve n'est pas valide, même si l'on sait que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent.
Il suffit de prendre la suite $(cos(n \pi))=(u_{n})$, on remarque que $u_{2n} = 1$ et $u_{2n+1} = -1$ et pour $f(x) = -x$ on a $f(u_{n+1}) =f(u_{n})$ et pourtant, en notant $l$ la limite de $(u_{2n})$ on a pas $f(l)=l$.

NB : menjaoui il serait bien de ne pas donner directement la réponse mais de ne donner que des pistes ;)

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#11 25-01-2020 08:54:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : Suites adjacentes

Bonjour,

@menjaoui
On dit souvent que nul n'est censé ignorer la loi.
La loi ici, on la trouve en suivant ce lien Règles
Et on y trouve notamment :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place
ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...
Coloration rouge rajoutée ici.

Quant à :
"Je suis nul en Latex" est une déclaration non recevable. Il suffit en effet d'accorder 1/4 h (1/2 h au plus pour les plus lents) à cette page : Code Latex pour être en mesure de démarrer...
Si des gamins de 14 ans en ont été capables sur ce forum, pourquoi l'auteur de cette déclaration n'en serait-il pas lui aussi en capacité ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#12 25-01-2020 12:09:08

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 16

Re : Suites adjacentes

bonjour,
je vous prie ,Messieurs de retenir mes excuses, pour le dérangement que je vous ai causé puisque toute déclaration est jugée non recevable : oui , parce que vous ne connaissez pas mes yeux , et heureusement mes doigts partent tout seuls pour mettre mes pensées sur un problème en mots  ,pour partager  avec un membre ou un invité une opinion discutable !!!
pour la suite donnée en contre exemple  cos(n...)  elle a  2  limites différentes ! elle non convergente.!!!!!!

Revenons à l'argument ; je vous écris la propriété comme suit:

soit f une fct numérique définie et continue sur 1 intervalle I  tel que  f(I) est inclus dans I
et soit (Un) la suite définie par U0 de I et pour tout n,   Un+1 = f(Un)
si (Un) est convergente, alors sa limite L est une solution dans I de l'équation  f(x) = x



en fin j'aimerais quitter votre site en vous demandant de supprimer ma candidature.

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#13 25-01-2020 12:27:57

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : Suites adjacentes

Bonjour,

en fin j'aimerais quitter votre site en vous demandant de supprimer ma candidature.

Adoncques, cher ami, vous estimeriez avoir été mal traité et maltraité ici ?
J'en serais navré, telle n'était pas mon intention, j'en endosserais alors, comme modérateur, la responsabilité...

Cela dit, même si toute perte est dommageable, vous n'êtes pas retenu prisonnier.

Cordialement,

      Yoshi
- Modérateur -


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#14 25-01-2020 16:41:25

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 317

Re : Suites adjacentes

Re,
Désolé de t'avoir énervé, ce n'en était point le but. Je ne vois d'ailleurs pas ce qui a pu t'énerver dans mon message précédent, ou même dans celui de Yoshi, enfin bon.

Concernant l'argument que j'ai remis en doute dans mon dernier message (avant celui ci), je n'ai pas dit que si une suite vérifie $u_{n+1} = f(u_{n})$ et est convergente alors on a pas forcément $l = f(l)$ avec $l$ sa limite. Je suis parfaitement au courant de ce fait et ce n'est pas ceci que je remets en doute, je pense que ceci est peut-être une erreur de communication, je vais donc très clair dans mon argumentation :

Comme tu l'as dit, $(u_{2n})$ converge car croissante et majorée, donc elle converge vers une limite $l_{0}$, de même $(u_{2n+1})$ converge, et notons $l_{1}$ sa limite. A ce niveau là de la démonstration on ne sait pas que $l_{0} = l_{1}$, en fait c'est exactement ce qu'on veut montrer (pour tout dire je me suis dit que peut-être avais tu mal lu les posts précédents et cru que l'on avait déjà montré que $u_{n}$ est convergente, cependant je suppose que tu sais que toute suite extraite d'une suite convergente est convergente, donc je ne vois pas l'intérêt de montrer que $(u_{2n})$ est convergente, à moins que... ).
Donc par continuité de $f$ et par caractérisation séquentielle de la continuité on a $f(l_{0})=l_{1}$.

Plusieurs idées me viennent en tête quand je vois ton argumentation, soit tout est évident pour toi et tu as passé des étapes qui te paraissent trop évidentes et tu es allé(e) un peu trop vite en écrivant, soit ton argumentation a clairement un gros trous dedans, et ce n'est pas grave, tout le monde en fait. Donc, sans aucunes animosité, aucunes, je te demande s'il te plait de développer un peu plus tes arguments,  soit pour que tu me montres que j'ai tort et/ou mal compris ton argumentaire, soit pour que l'on puisse corriger les quelconques erreurs.

Quant à math@gmail.com, voici un indice pour continuer : l'idée de menjaoui n'est pas mauvaise du tout ! Mais il va falloir (jusqu'à ce qu'il ou elle donne plus de précision) faire un peu différement, mais en utilisant la même idée. Dans un premier temps, essaye de montrer qu'il existe $g$ une fonction continue telle que $u_{2(n+1)} = g(u_{2n})$ (ne va pas chercher trop loin).

Dernière modification par Maenwe (25-01-2020 19:21:58)

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