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raphael.thiers

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Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Bonjour,

Ma question en relation avec Exercice 4 - Mesure à densité de la feuille d'exercices sur l'intégrale de Lebesgue.

Je me pose la question suivante, si h est une fonction mesurable positive , et A partie mesurable, ne peut-on pas écrire le ligne suivante ?

$\int _Ahd\mu <= sup_A(h)\times\mu(A)$

Dans ce cas on a
$(\mu(A)=0)\Rightarrow (\int _Ahd\mu = 0) $

puisque $0\times(+\infty)=0$ (au cas ou le sup de h  est $+\infty$)

Ce qui résout une des  questions de l'exercice plus facilement (d'où mon doute ...).

Qu'en pensez vous ?

Fred

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Bonjour,

  Le problème, c'est que $\sup_A(h)$ peut être infini....

F.

raphael.thiers

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

oui  mais compte tenu de la formule $ 0\times(+\infty)=0$ ; qu 'est ce que ça change  dans le cas de l'exercice ?

Fred

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Cette formule n'est pas vraie! (Pense aux limites c'est une forme indéterminée)

D

raphael.thiers

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

En fait je n'ai pas inventé cette formule, je l'ai trouvé dans un cours ...

J'ai été choqué aussi la première fois que je l'ai vu, il s agit d'une convention sur le calcul algébrique sur R union {+inf} .
Mais c'est assez logique en fait
une infinité de fois zero , cela est tres différent d'un produit d'une quantité tendant vers zero par l'infini.

raphael.thiers

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Tu peux retrouve ma formule ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_r% … hev%C3%A9e
justement dans le chapitre sur l'indetermination (cas de la theorie de la mesure)

Fred

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Tu remarqueras bien que dans la page que tu cites il est écrit avant cette formule « par convention ». Il faut la prouver quand tu en as besoin (ou alors avoir un énoncé qui dit clairement quand elle est vraie).

F

raphael.thiers

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Bonjour Fred,

Je ne comprends pas trop le sens de ta réponse; comment peut-on prouver une convention ?
Peux tu prouver que le degré d'un polynôme nul est $-\infty$ par exemple ?

Pour moi la définition de l'intégrale de Lebesgue intègre cette particularité  0×(+∞)=0 de façon à ne pas se limiter à des mesures finies par exemple.

Si je veux prouver le résultat je suis effectivement obligé de repasser par les fonction étagées;
Si $(h_n)$ est une suite de fonctions étagées croissantes convergeant simplement vers h, alors on a
$\int_Ah_nd\mu \le \mu(A)\times sup_A(h_n)=0 $  dans le cas de l'exercice(cette fois ci le sup de $h_n$ sur A est bien fini puisque $h_n$ prend un nombre fini de valeurs différentes.)
et on prouve alors le résultat par convergence monotone.

Fred

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Bonjour

  Je veux bien qu'on adopte cette convention lors de la définition de l'intégrale de Lebesgue, mais il faut alors vérifier que les inégalités usuelles sont compatibles avec cette convention. Et donc il faut démontrer que l'on a effectivement $\int_A hd\mu\leq \sup_A h \mu(A)$ même dans le cas $\sup_A h=+\infty$ et $\mu(A)=0$.  Je n'ai pas assez en tête la construction de l'intégrale de Lebesgue pour savoir si cela rajoute une difficulté ou non, mais il faut être extrêmement prudent.
En tout cas, c'est une convention que je déconseille fortement d'utiliser, car elle peut porter à confusion si on est dans un cadre où elle ne s'applique pas.

F.

raphael.thiers

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Re : Majoration d'intégrale d'une fonction mesurable positive

Bonsoir Fred,

Je te remercie pour le temps passé sur mon post !

Je partage ton point de vue sur la prudence dans les opérations avec un opérande infini.

Raphaël