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#1 23-01-2020 14:45:57

Tommyfacette
Membre
Inscription : 22-01-2020
Messages : 2

Intégrale double

Bonjour , je suis en école d'ingénieur en première année et j'essaye de refaire mon examen manqué. Et le professeur n'as pas donné de corrigé et j'aurais aimé savoir si mon calcul était juste...

Calculez l'intégrale [tex]I=\int\int_D f(x,y) dxdy[/tex], où [tex]f(x,y)= (x+y)sin(x)sin(y)[/tex], et D est le carré de sommets [tex]O,A(\pi,0),B(0,\pi)[/tex]et [tex]C(\pi,\pi)[/tex].

Je détermine la relation entre [tex]x,y[/tex] qui ici donne la droite [tex]x=y[/tex].
Ce qui nous donne l'intégrale [tex]\int_0^{\pi}\int_0^{y} (x+y)sin(x)sin(y)dxdy[/tex]

et peut-être en utilisant une linéarisation trigo [tex]\int_0^{\pi}\int_0^{y}\frac{(x+y)}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))dxdy[/tex]

Avec des intégrations par parties : [tex]\int_0^{y}xcos(x-y) dx=\int_0^{y}[xsin(x-y)]_0^{y}- \int_0^{y} sin(x-y)dx[/tex] et [tex]\int_0^{y}xcos(x-y) dx =\int_0^{y}[xsin(x+y)]_0^{y}- \int_0^{y} sin(x+y)dx[/tex]

j'arrive à quelque chose de la forme :  [tex]\frac{1}{2}\int_0^{\pi}1+ysin(2y)-cos(2y) dy[/tex]

Ce qui me donne du [tex] I= -\pi [/tex]

Résultat je n'ai aucune idée si c'est le bon résultat ou non ... Et si j'ai fait une erreur.
Merci d'avance aux courageux qui prendrons le temps de me lire.

Hors ligne

#2 23-01-2020 21:21:31

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 764

Re : Intégrale double

Bonsoir,

Si je lis bien ton énoncé, je dirai plutôt que (je ne comprend pas pourquoi tu parles de la droite $y=x$) ;
$$I = \int_0^\pi \int_0^\pi (x+y)\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy.$$

Dans ce cas, tu peux calculer les deux intégrales suivantes (puis les sommer - tu remarqueras qu'elles sont égales) :
$$I_1 = \int_0^\pi \int_0^\pi x\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy = \Big( \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm dx \Big) \Big( \int_0^\pi \sin(y) \mathrm dy\Big).$$
$$I_2 = \int_0^\pi \int_0^\pi y\sin(x) \sin(y) \mathrm dx\mathrm dy = \Big( \int_0^\pi \sin(x) \mathrm dx \Big) \Big( \int_0^\pi y\sin(y) \mathrm dy\Big).$$

Roro.

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#3 24-01-2020 08:03:16

Tommyfacette
Membre
Inscription : 22-01-2020
Messages : 2

Re : Intégrale double

Je suis resté complétement dans mon monde, je n'ai jamais vu que ses deux intégrales se décomposaient si simplement.

Merci énormément !

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