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#1 06-12-2007 16:59:33
- ccarole
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topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]
Bonjour.
S'il vous plaît aidez moi à définir correctement les ouverts de l'espace suivant!:
Soit $C_k(X)$ l'espace des fonctions réelles continues de $X$ dans $R$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $X$.
Merci d'avance.
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#2 06-12-2007 18:22:18
- john
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- Messages : 543
Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]
Hello ccarole et bienvenue à bord de la BM,
Je débute depuis longtemps déjà dans ce domaine, mais si je transpose ce que j'ai appris en intro de topo. voilà ce que j'obtiens :
On est dans un espace de fonctions réelles continues (les points de l'espace). Le centre de la boule (un point) est donc une fonction f de cet espace.
Une distance a été définie dans R entre 2 fonctions (par exemple le sup sur x€X de |f(x) - g(x)|).
Le rayon de la boule ouverte est évidemment une distance donnée r.
La boule ouverte de centre f et de rayon r est donc l'ensemble des fonctions g de C_k(X) dont la distance à f est inférieure à r.
Si tu patientes un peu, Fred va passer par là pour corriger tout ceci.
A+
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#3 06-12-2007 19:48:01
- ccarole
- Membre
- Inscription : 06-12-2007
- Messages : 4
Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]
Merci John.
Sur l'espace $C_k(X)$ on peut définir plusieurs topologies, la topologie que tu viens de citer est la topologie de la convergence uniforme, où le sup est pris sur l'espace$X$ tout entier.
Mais ma topologie est celle de la convergence uniforme sur les compacts de $X$, est-ce que le sup doit être prix sur tout compact $K$ de $X$ ou un compact arbitraire suffira?
A plus.
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#4 06-12-2007 20:27:34
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]
Salut CCarole,
Il faut considérer tous les compacts de X. Une base d'ouverts de C_k(X) est donnée par les ouverts
U(f,eps,K)=\{g; pour tout x de K, |f(x)-g(x)|<eps}, où f décrit C_k(X), eps est dans (0,+oo) et K est un compact arbitraire de X.
A+
Fred.
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#5 07-12-2007 21:25:32
- carole
- Membre
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- Messages : 3
Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]
Merci bien Fred.
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