Factoriser un polynôme : compter avec les ordres de multiplicité

Tmota · 19-01-2020 21:10:59

Bonsoir,

j'ai un petit doute sur les deux enoncés suivants :

Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ non constant. Je note $x_1,\dots,x_n$ les racines de $P$ d'ordre de multiplicité respectif $m_1,\dots,m_n$.

Alors je peux écrire $P=c\prod_{i=1}^n(X-x_i)^{m_i}, c\in\mathbb{C}^*$.

Mais si je dis :

Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ non constant. Je note $x_1,\dots,x_n$ compté avec ordre de multiplicité.

L'écrire sera-t-elle la même ? Je ne le pense et je pense qu'il faut écrire :

$P=c\prod_{i=1}^n(X-x_i), c\in\mathbb{C}^*$

Mais j'ai un petit doute.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Fred · 19-01-2020 21:29:23

Oui, c'est cela. Dans ton deuxième énoncé, les $x_i$ ne sont pas forcément différents : ils sont répétés autant de fois que leur multiplicité.

F.

Tmota · 19-01-2020 22:01:55

Merci !

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