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#1 18-11-2016 16:45:29

capesman
Modérateur
Inscription : 15-08-2016
Messages : 131

[Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Capesman.

Dernière modification par capesman (23-11-2018 08:53:59)

Hors ligne

#2 13-09-2017 20:54:23

capesman
Modérateur
Inscription : 15-08-2016
Messages : 131

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017 :
"Cette leçon repose sur un théorème dont il convient, avec un recul de niveau M1, d’étudier la démonstration (en s’appuyant par exemple sur l’axiome de la borne supérieure) et d’en apprécier le caractère existentiel et non-constructif. Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, apparaît une interrogation sur les images des intervalles par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) et le type d’image (directe ou inverse) ? "

J'avoue ne pas comprendre tout à fait ce que le jury veut dire par "d'en apprécier le caractère existentiel et non-constructif". Il est clair que le jury attend que l'on connaisse une preuve du théorème des valeurs intermédiaires. On peut en donner une preuve à l'aide de l'axiome de la borne supérieure, et là je comprends que c'est "non-constructif". Mais il y a aussi une preuve par dichotomie, à partir de suites adjacentes, et cette preuve est tellement constructive qu'on peut en déduire très facilement un algorithme!

Capesman.

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#3 28-10-2019 21:07:22

maths69129
Invité

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour ,

Voici mon plan :
I) Théorème des valeurs intermédiaires ( différents énoncés ,réciproque=fausse, image d'un ouvert , fermé , bornée ou non par une application continue)
II)L'algorithme de dichotomie
III) Différentes applications du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection , théorème du point fixe ,formule de la moyenne intégrale)
IV)Exercices

qu'en pensez vous ?
Cordialement

#4 29-10-2019 06:33:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 373

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Salut

  Ça me parait bien mais que veux tu dire par image d’un ouvert ou d’un fermé?

F

Hors ligne

#5 30-10-2019 09:18:22

maths69129
Invité

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

bonjour,

je me suis mal exprimé je voulais plutôt dire : image d'un intervalle ouvert/ fermé / borné par une fonction continue .
Pour ce qui est de l'algorithme de dichotomie , je songe à le retirer de mon exposé pour une question de timing . Évidement tout en le connaissant bien , afin de pouvoir le "ressortir" lors de l'entretien si cela est nécéssaire .

math69129

#6 30-10-2019 11:48:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 373

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Je pense que c'est une très mauvaise idée de sortir l'algorithme de dichotomie de cette leçon. Au contraire, il est vraiment au coeur de celle-ci. Garde plutôt pour l'entretien les autres algorithmes possibles (balayage, Newton par exemple...). Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par "image d'un intervalle ouvert par une fonction continue". A part que c'est un intervalle, je ne vois pas ce qu'on peut dire de plus.

  Par ailleurs, je pense que c'est mieux de mettre des exemples tout au long de la leçon plutôt que de terminer par un paragraphe "Exercices".

F.

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#7 30-10-2019 19:25:14

maths69129
Invité

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour ,

Merci pour vos conseils . Effectivement ne pas parler de l'algorithme de dichotomie serait dommage . Je l'ai donc réintégré .Quand je parle de l'image d'un intervalle ouvert(resp. fermé )par une application continue ,je veux indiquer que celle-ci n'est pas forcément un ouvert(resp. fermé), et que l'image d'un segment par une application continue est un segment . Je pense qu'il peut être utile de mettre ses résultats au vu des commentaires effectués par le jury dans le rapport de la session 2019 (je cite :"Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, il peut être intéressant de s’interroger sur la nature de l’image d’un intervalle par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) " .

Je pense avoir terminé ma leçon :
I) Théorème des valeurs intermédiaires ( différents énoncés ,réciproque=fausse, image d'un ouvert (resp.fermé) non nécessairement ouvert(resp. fermé), image d'un segment=segment)

II)Quelques applications du théorème des valeurs intermédiaires:

    (a)Un corollaire important du théorème des valeurs intermédiaires :le théorème de la bijection
    (b)dénombrement et encadrement d'une(des) solution(s) d'une équation du type f(x)=k sur un intervalle---> j'indique que le théorème des valeurs     intermédiaires nous assure l'existence (et l'unicité s'il y a stricte monotonie) d'une(des) solutions d'une équation du type f(x)=k , où f est une application continue .Introduction de l'algorithme de dichotomie en expliquant qu'il va nous permettre de localiser ces solution(s) avec une précision voulue , j'explique l'algorithme et je donne un exemple , j'ai également créé une animation geogebra illustrant le principe .

    (b)Théorème du point fixe---> rappel de la définition du point fixe puis énoncé du théorème et exemple .

    (c) Deuxième formule de la moyenne intégrale --> énoncé , explique l'idée de la preuve , puis exemple .


Je vous remercie pour vos conseils .
Cordialement .

#8 11-01-2020 15:48:27

etudiantecapes2020
Membre
Inscription : 11-01-2020
Messages : 1

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
J'ai un plan assez similaire à celui énoncé plus haut dans la discussion.
Je m'attaque désormais aux démonstrations et je bloque un peu.
J'aimerais pouvoir démontrer qu'il y a équivalence entre ces deux énoncés du TVI :

- "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " (démonstration à l'aide de l'algorithme de dichotomie)

-  "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. "

Pourriez vous me donnez des pistes de départ svp!

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#9 11-01-2020 17:20:25

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 281

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
Si on pose $P_{1} =$ "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " et $P_{2} =$ "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. ". Alors, ce que tu veux montrer c'est : $P_{1} \iff P_{2}$.

Or, $[A \iff B] = (\lnot A \lor B) \land (\lnot B \lor A) $, ($\lnot$ c'est le NON logique, $\lor$ (resp. $\land$) le OU (resp. ET) logique), de plus $P_{1}$ et $P_{2}$ étant vrai dans tous les mondes possibles (ces deux affirmations ($P_{1}$ et $P_{2}$) sont vrais), on a forcément que que $P_{1} \iff P_{2}$ sans avoir rien à démontrer en dehors de la véracité de $P_{1}$ et $P_{2}$. (Pour te donner un exemple un peu plus simple on a bien l'équivalence suivante : $[2=2] \iff [3=3]$).

Voilà, c'était pour le pinaillage plus ou moins important.
A mon avis ce que tu voulais démontrer c'est plutôt l'équivalence des conclusions de chacun de ces énoncés autrement dit, je pense que tu voulais montrer ceci :
Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$.
$f(I)$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, si et seulement si, pour tout $a<b \in I$ et pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Pour démontrer cela il faut "simplement" utiliser la définition d'un intervalle : $[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}$, est-ce que ça t'aide ?

Dernière modification par Maenwe (11-01-2020 17:21:52)

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#10 12-01-2020 13:43:59

Darquy
Invité

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
Merci en effet j'ai mal formuler ce que je voulais dire, c'est bien les conclusions qui sont équivalentes.
Oui c'est bon pour moi merci bcp !

#11 12-01-2020 16:00:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 281

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
J'en rajoute une couche : C'est très important de bien formuler ton problème avant de l'attaquer ! Sinon tu risques de ne jamais pouvoir le résoudre, d'ailleurs souvent la reformulation d'un problème permet de trouver de nouvelles solutions parfois plus simples.

Hors ligne

#12 18-01-2020 11:17:03

CAPES
Invité

Re : [Math 32] - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour dans cette leçon je fais une remarque sur le Théorème de Darboux:

    • Toute fonction dérivable sur un intervalle I ouvert de R vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème peut servir à montrer qu'une fonction n'admet pas de primitive, en montrant qu'il existe un intervalle sur lequel cette fonction ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires. Je sais qu'un exemple est donné par la fonction partie entière mais je ne sais pas comment le justifier. Pourriez vous m'aider?

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