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#1 17-01-2020 19:51:12

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 109

Calculs

Bonsoir
il y a une question qui me tourne la tête.

Soit $\Omega$ un ouvert borné et régulier.
On définit deux fonctions: $T_k(s)= s$ si $|s| \leq k$ et $= k s/|s|$ si $|s|>k$
et la fonction $G_k(s)=s-T_k(s).$
On suppose que $\lambda >1/2.$
On a l’inégalité suivante : $$
\int_{u_n \geq 1} |\nabla u_n|^2 u_n^{2\lambda -2} \leq \delta \int_{u_n \geq 1} u_n^{2 \lambda} + C_{\delta} + \int_{u_n \geq 1} f u_n^{2\lambda -1}.
$$ Ma question est comment on en déduit l’inégalité suivante : $$
C \int_{\Omega} |\nabla G_1 (u_n)^{\lambda}|^2 \leq \delta \int_{\Omega} G_1 (u_n)^{2 \lambda} + C + \int_{Omega} f.G_1(u_n)^{2 \lambda -1}.
$$ En utilisant le fait que $0 \leq u_n = T_1(u_n)+ G_1(u_n) \leq 1+ G_1(u_n)\ $ ?

C'est surtout le côté droit qui me pose problème. Comment on passe de
$ \int_{u_n \geq 1} |\nabla u_n|^2 u_n^{2\lambda -2}\quad$ à $\quad C \int_{\Omega} |\nabla G_1 (u_n)^{\lambda}|^2$ ?

Je vous vous remercie d’avance pour votre aide.

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