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#1 11-01-2020 09:32:42

Zebulor
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Supplémentaire orthogonal

Bonjour,
Par rapport à l exercice 5 intitulé « pas de supplémentaire orthogonal » dans les exercices corrigés du chapitre espaces euclidiens orthogonaux, projections orthogonales.

Ma question est  : Aurait on pu prévoir que F et F orthogonal ne sont pas supplémentaires ?
J essaye de montrer qu il est impossible d écrire une fonction de E en somme d une fonction de F et d une fonction de F orthogonal , mais je ne sais pas si c’est la bonne piste.

Dernière modification par Zebulor (11-01-2020 09:36:53)

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#2 11-01-2020 10:41:53

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

Bonjour Zebulor,
Pourrais tu mettre en ligne l'exercice ?
Parce qu'en dimension fini et même en dimension infini pour certains cas, l'orthogonal est un supplémentaire.
Et je suppose que quand tu parles de fonctions de $E$ tu veux parler d'un endomorphisme de $E$ ?

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#3 11-01-2020 11:14:11

Zebulor
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Re : Supplémentaire orthogonal

Bonjour Maewen,
E est l’ensemble des fonctions continues sur [0;1] si j’ai bien compris.
Voici l’exercice. :

On considère $E=C([0,1],ℝ)$ muni du produit scalaire $(f,g)=\int_0^{1} f(t)g(t)dt$.
Soit $F$={$f∈E, f(0)=0$}. Montrer que $F^{⊥}$={$0$}. En déduire que F n'admet pas de supplémentaire orthogonal.

Dernière modification par Zebulor (12-01-2020 12:18:02)

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#4 11-01-2020 11:21:27

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

Aaah d'accord, et tu n'arrives pas juste la première question je suppose ? Ou alors tu y arrives mais c'est plutôt la réponse à la question dans ton premier post que tu attends.
Qu'entends tu par prévoir ? Tu veux savoir s'il y a un théorème général qui dit plutôt facilement si un ensemble admet un orthogonal supplémentaire ou pas ?

Dernière modification par Maenwe (11-01-2020 11:24:12)

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#5 11-01-2020 11:24:54

Zebulor
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Re : Supplémentaire orthogonal

Je comprends la correction.
En fait il se trouve que je travaille sur le meme exercice dans un autre cadre. Et que la question finale additionnelle se trouve être : aurait on pu le prévoir ?
Alors on peut en effet s interroger sur ce qu on entend par «  prévoir ».
Est ce que ça veut dire : démontrer en utilisant d’autres arguments ou à l’aide d un théorème plus général .? Le mot laisse libre à l’interprétation...et la question me laisse perplexe..
Si tu connais un théorème plus général je suis preneur

Dernière modification par Zebulor (11-01-2020 11:45:38)

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#6 11-01-2020 13:10:39

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

C'est possible que l'exercice demande une façon plus direct de le voir, après je n'ai pas l'exo sous les yeux donc je ne peux en être sûr.
Par contre il existe un théorème disant que pour tout sous espace vectoriel fermé sont orthogonale lui est supplémentaire. Donc si le sous-espace vectoriel est ouvert il est possible que son orthogonal ne lui soit pas supplémentaire. Quant à répondre à la question de cet exo, si c'est un exo de niveau au moins L3 c'est peut-être cette réponse qu'ils attendent, si c'est un exo de niveau L2 (ou L1) j'en doute car on ne parle que très peu d'espace vectoriel de dimension infini à ce niveau.

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#7 11-01-2020 13:26:18

Zebulor
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Re : Supplémentaire orthogonal

Re Maewen,
L intitulé de l exo est très court : c est celui du post #3 auquel s ajoute la question  : » pouvait on le prévoir ?. C est du niveau L2. La notion d espace ouvert ou fermé n’est pas au programme me semble t il. On ne me demande pas des connaissances du niveau L3.
En tout cas encore merci. Bon week end.

Dernière modification par Zebulor (11-01-2020 13:27:45)

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#8 12-01-2020 12:12:53

Zebulor
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Re : Supplémentaire orthogonal

Bonjour,
@Maewen : en fait je pense avoir compris le sens de la question : tout élément $f$ de E ne s'annule pas nécessairement en $0$. Et lorsque $f(0)$ est non nul, $f$ n'appartient ni à $F$ ni à $F^{⊥}$. Ces deux derniers ensembles ne peuvent donc être supplémentaires.

Dernière modification par Zebulor (12-01-2020 12:15:13)

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#9 12-01-2020 12:57:40

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

Bonjour,
Pourquoi dans ce cas tu dis que $f$ n'appartient ni à $F$ ni à $F^{\perp}$ ?
On a dans tous les cas : $F \cap F^{\perp} = \{ 0\}$. Donc forcément les éléments de $F^{\perp }$ en dehors de $0$ ne s'annule pas en $0$.
Et même si ce que tu dis est correct ça ne prouverai pas que $F$ et $F^{\perp}$ ne sont pas supplémentaires, je pense que tu as fais une erreur assez commune dans ton raisonnement non écrit qui est que l'on peut penser que $F^{\perp}$ est une sorte de complémentaire de $F$ dans $E$ ce qui n'est pas le cas, $A$ et $B$ peuvent être supplémentaire dans $E$ et pour autant il existe $f \in E$ tel que $f$ n'appartient ni à $A$ ni à $B$.

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#10 12-01-2020 14:52:11

Zebulor
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Re : Supplémentaire orthogonal

re,
ce que j'ai écrit dans mon post #8 ne correspondait pas à ma pensée : lorsque $f(0)$ est non nul, $f$ n'appartient pas à la somme $F+F^{⊥}$.
$f$ ne peut alors pas s'écrire sous la forme d'une somme $g+h$ telle que $g$ est dans $F$ et $h$ dans $F^{⊥}$. D'où la non supplémentarité de  $F$ et $F^{⊥}$

Dernière modification par Zebulor (12-01-2020 14:55:06)

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#11 12-01-2020 16:23:58

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

Re,
Pourquoi donc (en dehors du fait que l'on a montré que $F^{\perp} = \{ 0 \}$) ? Je ne vois pas de contradiction dans le fait d'écrire $f$ comme somme d'un élément de $F$ et de $F^{\perp }$ respectivement, on est pas assuré pour l'instant qu'il n'existerait pas une fonction $h \in F^{\perp } $ tel que $h(0) = f(0)$. Ou alors il y a un élément de ton raisonnement qui m'échappe.

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#12 12-01-2020 17:24:34

Zebulor
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Messages : 771

Re : Supplémentaire orthogonal

Re,
est ce que quelque chose m'a échappé  ? Si on suppose - et c'est peut être l'information qui manquait dans mon post #10 -, qu'on a démontré que $F^{\perp }$={0} et que $h \in F^{\perp }$.

Alors je ne vois pas comment une fonction $f$ de $E$ vérifiant $f(0)$ non nul peut vérifier l'égalité $h(0) = f(0)$.
Et dans ce cas sauf erreur de ma part $f$ appartient bien à $E/(F+F^{\perp })$

Dernière modification par Zebulor (12-01-2020 17:42:52)

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#13 12-01-2020 18:12:41

Maenwe
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Re : Supplémentaire orthogonal

Ah bah oui si on suppose ça, ça le fait !
Cependant quand on a ça la conclusion est très simple (enfin de mon point de vue) à montrer. Il faudrait avoir la solution ou la personne qui l'a inventé sous les yeux pour savoir ce qu'il ou elle attend.

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#14 12-01-2020 18:21:46

Zebulor
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Messages : 771

Re : Supplémentaire orthogonal

re,
je poserai la question à la personne concernée.
Bonne soirée !

Dernière modification par Zebulor (12-01-2020 21:00:07)

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