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cathy

Invité

groupes finis [Résolu]

Bonjour,

j'ai un exercice sur les groupes que je n'arrive absolument pas à résoudre. Si vous pourriez m'éclairer !
Voici l'énoncé :
Soit g un automorphisme de Sn. Montrer que si g transforme toute transposition en une transposition alors g est un automorphisme intérieur.
Comme indication, il nous demande d'utiliser le fait que Sn est engendré par {(12), (13), ..., (1n)}.

Merci d'avance.

Fred

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Re : groupes finis [Résolu]

Bonjour,

  On note t_i la transposition (1 i)
On sait que, pour i différent de j, g(t_i) et g(t_j) sont des transposition s_i et s_j.
De plus, comme t_i et t_j ne commutent pas, les transpositions s_i et s_j ne peuvent pas non plus commuter
(sinon t_i et t_j commuterait en appliquant g^{-1}).

En particulier, dans les transpositions g(t_2) et g(t_3), il y a un élément en commun.
On note g(t_2)=(a_1 a_2) et g(t_3)=(a_1 a_3).
Pour i>3, la transposition g(t_i) ne commute pas avec g(t_2) ni avec g(t_3).
Elle a donc un élément en commun avec ces deux transpositions, obligatoirement
a_1. Et donc g(t_i)=(a_1 a_i).

Il est clair que tous les a_i sont disjoints (sinon g ne saurait être un automorphisme).
Et donc l'application s qui à i associe a_i est une bijection de {1,...,n} dans lui-même.
En outre, pour tout transposition t_i, on a s t_i s^{-1}=(a_1 a_i)=g(t_i).
g et l'automorphisme intérieur associé à s coincident sur les t_i. Comme ils engendrent
S_n, ces deux automorphismes sont égaux.

Je trouve cet exercice un peu raide sans autre indication....

Fred.