Bolzano-Weierstrass /Suites extraites / Continuité

Moomyne · 01-01-2020 21:48:27

Bonjour/Bonsoir,

Je fais appel à vous car cela fais une semaine que je bloque sur 3 questions de mon DM de Math...
Voici mon DM, c'est surtout pour les questions 19/20/21 que j'aurais besoin d'aide :

DM de Math

Merci pour votre aide.

Maenwe · 01-01-2020 23:23:25

Bonsoir,
On peut-t'aider mais avant dis nous ce que tu as déjà fait, pourquoi tu ne réussi pas à avancer, etc.

Zebulor · 02-01-2020 09:06:20

Bonjour,
et si tu peux aussi par exemple réécrire en latex les 3 questions qui te gênent le plus.. question de lisibilité..

yoshi · 02-01-2020 10:56:26

Bonjour,

Et je complète la réponse de Zebulor :
...parce que là, ton sujet, il est resté sur ton ordinateur et avec la meilleure volonté du monde, impossible de t'aider.

Si tu avais cliqué sur la bouton Prévisualisation, tu t'en serais aperçu...

Si tu ne veux pas tout retaper, dépose ton sujet ici : https://www.cjoint.com
et reviens nous poster le lien que tu auras obtenu.

@+

Moomyne · 02-01-2020 13:10:33

Bonjour à tous merci de vos réponses.

Excusez moi, voici le lien : https://www.cjoint.com/c/JAclay3dYb0

Toute les questions avec les croix à coté sont celles que j'ai déjà faites.
Je n'arrive pas à faire les questions 19/20/21 car ce sont des questions plus "théorique" on va dire... (chose que je ne gère absolument pas)

Pour la 19 j'avais eu l'idée de dire que les suites x_p et y_p sont adjacentes donc leur difference tend vers 0 (qui équivaut à 1/p) mais je n'arrive pas à terminer.

Pour la 20 dans le même cas si les suites sont adjacentes alors elles tendent toutes les deux vers τ mais si elles ne sont pas adjacentes mon raisonnement est faux.

Pour la 21 je pense qu'il faut utiliser la continuité de f et procéder par un raisonnement pas l'absurde mais la aussi, je n'aboutit en rien...

Maenwe · 02-01-2020 19:38:17

Bonsoir,
Tout d'abord qu'est ce qui te permets de dire que ces suites sont adjacentes ? Il me semble qu'il manque quelques hypothèses non ?
Pose toi d'abord les bonnes questions avant de commencer un devoir, par exemple, lorsque tu n'arrives pas à répondre à une question, tu peux avoir plusieurs choix dont : "Est ce qu'il y a des questions avant qui peuvent m'aider ?" ou encore "Est-ce que j'ai bien compris l'énoncé ?", ou bien "Est ce que je peux changer de points de vue sur la question ?", etc.

Donc de ceci tu aurais te demander que faire de la question 18 ?... As tu bien compris les implications du théorème de Bolzano-Weierstrass ?

Moomyne · 03-01-2020 16:12:18

Merci de votre réponse Maenwe,

Tout d’abord j’avais pour objectif de refaire la démonstration de Bolzano Weierstrass en utilisant les suites adjacentes pour montrer l’absurdité. Mais c’est la que ça bloque, je ne peux pas affirmer qu’elles peuvent être adjacentes donc je n’aboutit à rien.

Je pense comprendre l’énoncé et je pense que l’absurdité viens de : | f(y_p) - f(x_p) | > Ɛ
Mais peut-être que je me trompe ?

Le théorème de Bolzano-W dit que toute suite bornée admet une sous suite convergente (d’où l’idée d’utiliser les suites adjacentes)

Maenwe · 03-01-2020 16:36:18

Bonjour,
Pourquoi veux tu refaire la démonstration de ce théorème ? Certes parfois il est utile de connaître des procédés démonstratif pour résoudre des questions mais là je n'en vois pas l'utilité immédiate.
Et puis si les suites étaient adjacentes il n'y aurait pas besoin de faire grand chose puisqu'elles convergeraient vers la même limite et en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite on aurait une absurdité...
Mais en fait ce n'est pas si idiot de chercher deux suites $x_{p}$ $y_{p}$ qui convergent.
Tout d'abord dans ta résolution de questions tu dois chercher un but à accomplir (certes résoudre la question en est un, mais souvent il faut chercher quelque chose de plus "particulier"), et ici ce qu'il semble intéressant c'est de montrer que $x_{p}$ et $y_{p}$ convergent car si c'est le cas, puisque $x_{p} - y_{p} \to 0$ et bien ces deux suites convergent vers la même limite et donc $f(x_{p})-f(y_{p}) \to 0$ ce qui serait absurde. Lorsque tu butes sur une question, pose toi d'abord les bonnes questions, puis essaye de faire des hypothèses simplificatrice, comme, "les deux suites $x_{p}$ et $y_{p}$ convergent" et après essaye de montrer que sous les hypothèses de la questions, ces hypothèses sont en fait des faits.

Donc maintenant, le but est de trouver une sous-suite de $x_{p}$ et $y_{p}$ qui converge, mais comment ?

Moomyne · 06-01-2020 00:40:04

Bonsoir, déjà je tiens à m’excuser de mes réponses tardives mais je suis en vacances donc j’essaie de gérer famille et devoirs...

Encore merci pour votre réponse et conseils ! je vois mieux où il faut y aller maintenant.

Une suite est dite convergente si elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée...
Donc si je ne me trompe pas mettre dans les hypothèses que les suites sont convergente ne mènera à rien... puisque c’est me but.

Et je ne sais pas si c’est possible de créer deux sous suites convergentes puisque dans ce cas ça ne sera pas une généralité...

C’est ce genre d’énoncer qui me pose problème, je sais juste que j’ai une fonction continue et deux suites mais ensuite ? Néant.

Dernière modification par Moomyne (06-01-2020 00:40:52)

Maenwe · 06-01-2020 10:02:51

Bonjour,
Où est ce que tu as vu qu'une suite est convergente ssi elle est croissante et majorée ou décroissante et minoré ? C'est complètement faux, tu n'as pas vu la définition avec les quantificateurs de la convergence d'une suite ? ($\frac{(-1)^{n}}{n}$ n'est ni croissante ni décroissante et pourtant elle converge).
Pour commencer ton raisonnement prends deux suite $x_{p}$ $y_{p}$ vérifiant :
$\lvert x_{p} - y_{p} \rvert < \frac{1}{p}$ et $\lvert f(x_{p})-f(y_{p}) \rvert > \epsilon$.
Et après utilises deux fois le théorèmes de Bolzanno-Weierstrass.
Là il me semble que ce n'est pas une difficulté à faire des raisonnement abstrait mais une difficulté dans la maîtrise et compréhension. C'est un point très important pour pouvoir résoudre des problèmes.
Par exemple, à quoi sert le théorème de Bolzanno-Weierstrass ? Il peut servir à extraire une suite convergente d'une suite qui ne l'es pas mais sous certaines conditions.

Moomyne · 09-01-2020 11:14:39

Bonjour,
Merci pour cette révélation ! Je peux vous affirmer que non je ne trouve rien de cela dans mon cahier...
Merci pour votre aide Maenwe !

yoshi · 09-01-2020 12:02:45

Re,

Maenwe. a écrit :

Où est ce que tu as vu qu'une suite est convergente ssi elle est croissante et majorée ou décroissante et minoré ? C'est complètement faux,(...)

Peux-tu préciser ta pensée ?
Parce que je ne comprends pas ton affirmation et, comme j'ai cru déceler une pointe d'ironie dans la réponse finale de Moomyne, alors j'ai cherché une référence indiscutable et j'ai trouvé Normale sup...
https://www.normalesup.org/~glafon/carn … gence.pdf]
Extrait.

Théorème1. Théorème de convergence monotone : Toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante et majorée converge.
Démonstration.
Ce résultat, bien que relativement intuitif, est plus dfficile à démontrer qu'il n'en a l'air, au point d'ailleurs que nous allons l'admettre (une des diffcultés étant de caractériser la limite comme étant le plus petit majorant de la suite, et de montrer qu'une telle chose existe).
Remarque2.
Attention ! Une suite croissante et majorée par un réel M ne converge pas nécessairement vers M. La suite a tout un paquet de majorants, dont un seul est sa limite

@+

[EDIT]Mise gras du début de la citation de Maenwe.

Dernière modification par yoshi (09-01-2020 13:09:46)

freddy · 09-01-2020 12:33:22

Salut yoshi,

Non, regarde bien, il est écrit « la suite converge si et seulement si ... », et ça c’est vraiment faux car trop réducteur ! :-)

yoshi · 09-01-2020 13:03:20

Re,

Oui, j'ai bien pensé à ça...
Mais il faudrait que Maenwe précise un peu sa pensée car si on lit un tant soit peu rapidement, game over...
D'autant que Moomyne a écrit dans le post auquel Menwe répond :

Une suite est dite convergente si elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée...

... et je ne trouve pas le si seulement si dans ce qu'écrit Moomyne.

@+

Maenwe · 09-01-2020 13:46:45

Bonjour,
Désolé pour la confusion que mon message à engendré ^^
Si ce que Moomyne à voulu écrire est :
Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.
Alors je suis tout à fait d'accord !
Maintenant d'où vient la mauvaise compréhension de ma part du message de Moomyne ?
Eh bien cela vient de la sémantique, je m'explique :
Lorsque l'on rédige une définition il y a plusieurs façon de le faire, l'une d'elle étant de dire "On dit que..." par exemple "On dit que $m :E \to \mathbb {R}^{+}$ est une mesure si pour toute famille $(A_{n}) \in E^{\mathbb {N}}$ d'ensembles disjoint on a $m ( \cup A_{n} ) = \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} m (A_{n}) $". Ensuite pourquoi ne le suis je pas dit "il a peut être voulu dire autre chose " parce que je n'ai jamais vu de proposition commencer par "On dit que..." pour moi c'est une définition, qui dans ce cas là je trouvais assez réductrice ^^
D'habitude dans ce genre de cas je réinterprète le message et le fait signaler à l'auteur qu'il y a une petite faute de langage (selon moi), mais j'ai dû envoyer trop vite ce message ou quelque chose comme ça (je ne me souviens pas trop), quoi qu'il en soit, me culpa

À part ça, @Moomyne tu arrives à aboutir à cette question ou il faudrait des indications plus précises ?

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