equation complexe

Kahina · 03-01-2020 22:38:24

Bonsoir à tous !
(3+3i)³
je me demandais comment résoudre l'équation : z³ = --------
2i+2

merci d'avance !!

freddy · 03-01-2020 23:26:46

Salut,

une idée : passer en coordonnées polaires.

Kahina · 03-01-2020 23:32:31

oui, c'est précisément ce que j'ai tenté de faire mais j'ai du commetre une erreur ...

freddy · 04-01-2020 11:18:35

Re,

si tu veux nous montrer ce que tu as fait ...

Kahina · 05-01-2020 21:57:03

en fait je vous avoue que je ne sais pas par quoi commencer sur cette question précise...

Fred · 05-01-2020 22:08:57

C'est bizarre, tes deux messages se contredisent.....
Peux-tu écrire (3+3i)^2 et 2i+2 sous forme exponentielle?

F.

yoshi · 05-01-2020 22:32:11

RE,

Si vraiment, l'énoncé est
$z^3=\dfrac{(3i+3)^3}{2i+2}$
alors je vois une solution simple :
$z^3=\dfrac{3^3(i+1)^3}{2(i+1)}$
$z^3=\dfrac{3^3}{2}\times \dfrac{(i+1)^3}{(i+1)}$
Et maintenant, c'est là quil y a quelque chose à faire : $\dfrac{(i+1)^3}{(i+1)}$

Et je n'utilise la notation exponentielle qu'à la toute fin pour passer de $z^3$ à $z$...

J'espère n'en avoir pas trop dit...

@+

Kahina · 06-01-2020 21:13:20

Non je disais que je ne savais pas trop par quoi commencer pour la notation exponentielle, sinon j'ai commencé par calculer l'argument pour utiliser une formule donnée en cours mais je ne la maitrise pas

yoshi · 06-01-2020 21:15:33

Quand tu seras au bout, ou que tu seras décidée à tester autre chose, je t'en dirai plus sur mon idée...

Kahina · 08-01-2020 13:10:44

Rebonjour :
Alors j'ai calculé le module, l'argument, en partant du calcul de |z³|, je me retrouve avec pour première solution -3i, mais je ne vois pas comment poursuivre, c'est un peu tatillon au travers du cercle trigonométrique parce que je sais que ça va etre un triangle régulier, du moins je crois.

Voilà voilà, je rame vraiment sur cette question comme vous l'aurez remarqué :D

freddy · 08-01-2020 21:11:51

Salut,

la première solution est bonne, mais pourquoi tu cherches sur le cercle trigonométrique, tu n'as pas la solution formelle en lecture directe ?

yoshi · 08-01-2020 21:44:34

Re,

Je vais quand même expliciter un peu plus ma pensée, quand bien même la miss ne semble pas particulièrement intéressée....
$z^3= (\cdots)=\dfrac{3^3}{2}\times \dfrac{(i+1)^3}{(i+1)}$

1. Je propose de simplifier la fraction $\dfrac{(i+1)^3}{(i+1)}$
2. Je propose de développer le résultat puis de calculer la valeur de $z^3$ : on arrive à $z^3=3^3i$
3. Sous forme exponentielle z est tel que $z=re^{i\theta}$, donc $z^3=r^3e^{i3\theta}$,
4. Tu écris de même $3^3i$ sous forme $3^3e^{i...}$ (à compléter)
5. On a alors $r^3e^{i3\theta}=3e^{i...}$ (d'où équivalence logique) :
$\begin{cases}r^3&=3^3\\3\theta &=\; ... +2k\pi\quad (k \in \mathbb Z) \end{cases}$

@+

freddy · 09-01-2020 11:08:16

Salut,
Peut-être que notre amie n’est pas accoutumée avec l’usage de l’exponentielle complexe, un brin de cours particulier pourrait éventuellement l’aider ;-)

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