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#1 03-01-2020 22:27:27

Kahina
Membre
Inscription : 22-12-2019
Messages : 28

critère de d'alembert et série entière avec factorielle

Bonsoir à tous, j'ai trois séries numériques à étudier, contenant des factorielles.

Ici, E veut représenter le sigma de n allant de 0 à +oo.
a) E [n! / (2n)!]
b) E [(n!)2 / (2n)! ]
c) E [(n!)3 / (2n)! ]


comme 0 <= an <= bn <= cn j'ai pensé à utiliser d'alembert pour étudier c et par critère de comparaison, en établir une étude pour a et b, sauf que je ne vois pas comment simplifier avec les factorielles...

Merci d'avance,

K

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#2 03-01-2020 22:54:35

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : critère de d'alembert et série entière avec factorielle

Re,
dalembert  en effet le bienvenu là dedans. Pour t’aider :
(n+1)!=(n+1)*n!
Et de même (2n+2)! peut être exprimé en fonction de (2n)!.. etc...

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 22:54:51)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#3 03-01-2020 23:00:01

Kahina
Membre
Inscription : 22-12-2019
Messages : 28

Re : critère de d'alembert et série entière avec factorielle

Oui, en réalité en refaisant le calcul après avoir bu un café je l'ai fait naturellement :-D
désormais c'est la suite


     (n!)d
E  ------
    (dn)!


qui me pose souci car pour le coup la simplification avec le d me tarabuste (désolée de prendre ton temps ainsi ...)

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#4 04-01-2020 07:04:48

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : critère de d'alembert et série entière avec factorielle

re mademoiselle,
1)pour que l'écriture ait un sens $d$ doit être un entier. Le cas $d=0$ pouvant être envisagé.
2)lorsque $n$ tend vers l'infini :
${(n+1)^d}$ peut trouver son équivalent simple..
Quant à $\frac {(dn)!}{(dn+d)!}$ c'est $\frac {1}{(dn+1)(dn+2).......(dn+d)}$, dont il est possible de compter le nombre de facteurs au dénominateur.
Ensuite l équivalent du produit est le produit des équivalents de chaque facteur qui le compose.
3)Sauf effet tardif de ma camomille, la série ne diverge que dans deux cas.

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 09:26:05)


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#5 08-01-2020 12:12:18

Kahina
Membre
Inscription : 22-12-2019
Messages : 28

Re : critère de d'alembert et série entière avec factorielle

Bonjour, pardonnez ma réponse tardive, alors j'ai bien compris et je pense qu'elle diverge pour tout x supérieur ou égal à deux

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#6 08-01-2020 18:05:41

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : critère de d'alembert et série entière avec factorielle

Bonsoir,
Tu peux me tutoyer  :-)
Sinon t aurais je mal lu précédemment ? ..il n’y a pas de variable $x$ dans cette affaire... et c est le paramètre $d$ qui intervient dans la nature de la série du post #3.
Et Si j en crois ton symbolisme il s’agit bien d une série numérique somme de 0 à l’infini

Dernière modification par Zebulor (08-01-2020 22:12:44)


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