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#1 08-01-2020 10:54:53

Mariiie
Membre
Inscription : 07-01-2020
Messages : 3

Questions sur les intégrales (SOS)

Rebonsoir !!

Alors voilà, depuis le lycée j'ai un souci avec les intégrales j'ai beau faire et refaire toutes mes séries d'exercices et approfondir au maximum, j'ai l'impression de ne rien réussir à intégrer (sans mauvais jeu de mot).
Entre les intégrations par parties, les décompositions en éléments simples, je m'emmèle les pinceaux de façon assez magistrale.

Alors je précise simplement que par la suite (S a->b) signifie une intégrale de a vers b.

Du coup voilà, les intégrales sur lesquelles je bloque sont les suivantes :
 
                        2x3
1) S(0->1)  -------------- dx vaut  : ???
                   (1+x4) 3






Alors ici, j'ai tenté une décomposition en éléments simples sauf que vraiment je n'aboutis pas, ensuite j'ai essayé de me ramener à une formule du type u'/un, sauf que le numérateur est en réalité la dérivée seconde du dénominateur (sans la puissance) donc là je galère et he ne vois pas comment faire.
Du coup si vous pouviez me donner des éléments de réponses et des conseils pour les intégrales parce que j'ai vraiment envie de progresser ça m'agace...


                              8
2)   S(5->7)  -----------------
                     x² + 2x + 15


Bon alors là c'est à peu près pareil, est ce que je factorise et fait une décomposition ?

                               ex
3) S(1 -> +oo)  ---------------
                            e2x - 1



   
                       x
4) S(a -> 1) ---------
                     e2x


                  V(arctg(x)
5) S(0->1) -------------    (V = racine carrée)
                     x²+1






Merci d'avance....

M

Dernière modification par Mariiie (08-01-2020 11:07:51)

Hors ligne

#2 08-01-2020 12:11:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 409

Re : Questions sur les intégrales (SOS)

Bonjour,

Voici quelques idées pour démarrer.

Mariiie a écrit :

Rebonsoir !!



 
                        2x3
1) S(0->1)  -------------- dx vaut  : ???
                   (1+x4) 3

C'est presque de la forme $u'/u^3$.

8
2)   S(5->7)  -----------------
                     x² + 2x + 15

Le discriminant est négatif, le dénominateur n'admet pas de racines. Il faut que tu mettes le dénominateur sous forme canonique, puis que tu te ramènes à une intégrale du type 1/(y^2+b^2).


ex
3) S(1 -> +oo)  ---------------
                            e2x - 1

Changement de variables $u=e^x$???

x
4) S(a -> 1) ---------
                     e2x

$\frac{x}{e^{2x}}=xe^{-2x}$ puis une intégration par parties pour faire disparaître le $x$.

V(arctg(x)
5) S(0->1) -------------    (V = racine carrée)
                     x²+1

Changement de variables $u=\arctan(x)$???

F.

Hors ligne

#3 08-01-2020 12:40:31

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 129

Re : Questions sur les intégrales (SOS)

Voici des possibilités ... il y en a d'autres.

Je fais les 2 premiers et donne des pistes pour les suivants.

1)

Changement de variables.

Poser 1+x^4 = u
4.x³ dx = du
2x³ dx = (1/2) du

2x³/(1+x^4)³ dx = (1/2).1/u³ du

si x = 0 --> u = 1
Si x = 1 --> u = 2

Et donc S(de0à1) 2x³/(1+x^4)³ dx = 1/2 * S(de1à2) du/u³ = (1/2) * (-1/2) * [1/u²](de1à2) = -1/4 * [1/4 - 1] = 3/16
*************
2)

x²+2x+15 = (x+1)² + 14

Changement de variables.

Poser x+1 = V14 * u
dx = V14 * du

8/(x²+2x+15) dx = 8*V14 * 1/(14u² + 14) du = 8/V14 du/(1+u²) facile à intégrer.

x = 5 --> u = 6/V14
x = 7 ---> u = 8/V14

S(de5à7) 8/(x²+2x+15) dx = 8/V14 * S(de 6/V14 à 8/V14) du/(1+u²) = 8/V14 * [arctan(u)](de 6/V14 à 8/V14)

= 8/V14 * (arctan(8/V14) - arctan(6/V14))
**************
3)

Changement de variable, poser e^x = u
...
**************
4)
Intégration par parties ...

**************
5)
Changement de variable.
Poser arctan(x) = u²

Hors ligne

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