Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel_V

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Corps cyclotomique

Bonjour,

j'essaie de résoudre l'exercice suivant: soient $m,n \geq 1 $ premiers entre eux, montrer que $\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)=\mathbb{Q}(\zeta_{nm})$ et que $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m) = \mathbb{Q}$. J'ai pu faire le premier point, mais je bloque sur le second… bien sûr une inclusion est triviale mais je ne vois pas bien comment faire l'autre inclusion: on ne peut pas travailler avec les degrés en toute généralité car je ne connais pas le degré de $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m)$ sur $\mathbb{Q}$ en fonction de $n$ et $m$, et faire l'inclusion directement à la main ne me paraît pas faisable. Je sais quand même que $\mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m)$ est une extension galoisienne de $\mathbb{Q}$ donc j'ai essayer de regarder l'inclusion en termes de groupes de Galois avec $G(\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)| \mathbb{Q})$ et $G(\mathbb{Q}(\zeta_n, \zeta_m)| \mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{Q}(\zeta_m))$ mais ca ne donne pas grand-chose pour l'instant. Suis-je sur la bonne piste ? J'aurais besoin d'un petit coup de pouce..

Michel_V

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Re : Corps cyclotomique

Désolé de up mais ma pauvre petite question risque de tomber aux oubliettes d'ici peu…

Fred

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Re : Corps cyclotomique

Bonjour,

  J'ai l'impression (mais je viens de lire cela très vite...) qu'on peut utiliser la propriété suivante : si $x$ est un nombre réel tel que $x^n\in\mathbb Q$ et $x^m\in\mathbb Q$ avec $n\wedge m=1$, alors $x\in\mathbb Q$ (en utilisant le théorème de Bezout?). Et tous les éléments de $\mathbb Q(\xi_n)$ ont bien leur puissance $n$-ième dans $\mathbb Q$, non?

F.

Michel_V

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Re : Corps cyclotomique

Alors je suis d'accord sur le premier point: on a par Bézout $\lambda m + \mu n =1$ donc $(x^m)^\lambda \cdot (x^n)^\mu = x^1 \in \mathbb{Q}$ si $x^m, x^n \in \mathbb{Q}$.
En revanche je ne suis pas sûr du deuxième point, par exemple dans $\mathbb{Q}(\zeta _3)$ on trouve l'élément $x=1+2 \zeta_3=i\sqrt{3}$, mais $(i\sqrt{3})^3$ n'est pas dans $\mathbb{Q}$, à moins que j'aie commis une vulgaire erreur quelque part

Fred

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Re : Corps cyclotomique

Tu as raison je suis allé trop vite !