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#1 28-12-2019 10:35:04

yannD
Membre
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Suite (Principe de récurrence)

Bonjour, j'ai créé une nouveau sujet qui fait suite au précédent :  comme il y a beaucoup de pages dans celui-ci, je n'arrive plus du tout à m'y retrouver..

J'ai la Propriété suivante :

          Pour tout entier naturel $n$ : $u_n=u_0+n.r$

Je dois démontrer que la Propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.



Voilà ce que j'ai fait :

$u_n=u_0+n.r$ : j'appelle cette propriété P(n)

$u_1=u_0+r$; $u_2=u_0+2r$ et $u_3=u_0+3r$
P(1),P(2) et P(3) sont vérifiées.

Et maintenant, comme il faut montrer que cette Propriété : $u_n=u_0+n.r$ (que j'appelle P(n) ) est vraie pour tous les entiers naturels
je pars de la supposition que P(n) est vraie et après je ne sais plus trop.
Pouvez vous m'aidez à poursuivre le raisonnement s'il vous plait ?
Yann

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#2 28-12-2019 10:54:36

Zebulor
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Bonjour Yann,
C est ça. Tu supposes que P(n) est vraie pour un $n$ entier quelconque. Et tu veux démontrer que cette propriété est aussi vraie pour l’entier suivant $n+1$, soit P(n+1) vraie.
C est le schéma implicatif $P(n) \Rightarrow P(n+1)$.
En posant $E(n)$ l égalité : $u_n=u_0+n.r$ cela se traduit, se retranscrit, s explicite...par une autre implication entre deux égalités, qu il te reste à écrire.

Dernière modification par Zebulor (28-12-2019 11:18:08)


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#3 28-12-2019 11:41:50

yannD
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Re : Suite (Principe de récurrence)

pour calculer P(1) j'ai remplacé dans $u_n=u_0+n.r$ mais pour avoir P(n)=> P(n+1) est-ce que je dois mettre n+1 dans $u_n=u_0+n.r$

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#4 28-12-2019 12:41:16

Zebulor
Membre expert
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Oui. C est une simple réécriture. Tu peux substituer n par n+1 dans cette égalité. $n$ en est une variable muette, un nombre entier et peut être remplacée par n’importe quel autre. Je reprends tout à l’heure..

Dernière modification par Zebulor (30-12-2019 20:48:56)


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#5 28-12-2019 12:53:38

yannD
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Re : Suite (Principe de récurrence)

$u_n=u_0+n.r$
donc pour n = n+1, $u_{n+1}=u_0+(n+1).r$

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#6 28-12-2019 13:36:09

yoshi
Modo Ferox
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Re,

Oui, mais fais attention, n'écris pas n=n+1 parce que mathématiquement ça se traduit par n=0...
Ecris plutôt n --> n+1 ou on remplace n par n+1 etc... Infomatiquement, ça a un autre sens !
Oui
$u_{n+1}=u_0+(n+1)r$
c'est la forme à laquelle tu dois arriver sachant que $u_n=u_0+nr$

@+


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#7 28-12-2019 14:36:27

Zebulor
Membre expert
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Re,
Les codages diffèrent...
Ce qu on veut démontrer c est le schéma implicatif, la déduction :  $E(n) \Rightarrow E(n+1)$. Il ne s’agit pas de démontrer comment retranscrire la propriété $E(n+1)$ en égalité (post #4)

On admet, conjecture, postule...suppose exact ceci :
$E(n)$ : $u_n=u_0+ n.r$ pour n importe quel entier, un seul, fixé.(hypothèse dite de récurrence)
On veut démontrer que l’égalité précédente se vérifie pour le rang suivant compte tenu de la seule donnée de départ qui est $u_{n+1}=u_n+r$.
Cette nouvelle égalité qu on veut obtenir s écrit :
$E(n+1)$ :  $u_{n+1}=u_0+(n+1)*r$ (conclusion).

Pour ce faire on cherche alors à construire $u_{n+1}$ à partir d un mixte constitué :
• de la seule donnée de l’exercice :  pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
• de ce qu on a supposé exact  :  pour tout entier $n$, $u_{n}=u_0+n*r$

Reste à voir alors si l écriture obtenue de $u_{n+1}$ coïncide avec la forme dont te parle Yoshi (post #6)
Si tel est le cas, on a bien pour tout entier : pour tout $n$ entier : $E(n) \Rightarrow E(n+1)$, 
ce qui revient à écrire en termes d'égalité :  pour tout $n$ entier : $u_{n}=u_0+n.r  \Rightarrow u_{n+1}=u_0+(n+1).r$

Mais si les écritures de $u_{n+1}$ ne coĩncident pas..; alors la propriété :
pour tout $n$ entier : $u_{n}=u_0+n.r  \Rightarrow u_{n+1}=u_0+(n+1).r$ est fausse !!

Dernière modification par Zebulor (30-12-2019 14:14:32)


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#8 30-12-2019 19:50:35

yannD
Membre
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Bonsoir Yoshi, peux-tu m'expliquer pourquoi en math ça se traduit par n=0

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#9 30-12-2019 20:10:51

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : Suite (Principe de récurrence)

Re,

j'ai écrit trop vite... Si n=0 n'avait rien de choquant en soi, par contre la résolution de l'équation nous conduit à bien pire !!!
On tombe sur 0 = 1...

Satisfait (ou remboursé) ?

@+


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#10 30-12-2019 20:46:56

Zebulor
Membre expert
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Re : Suite (Principe de récurrence)

Bonsoir,
Je me permets d intervenir car je ne pensais pas que ma phrase «substituer n par n+1 » du post #4 aurait créé la confusion chez Yann.

Alors je tente une réponse :

• dans l' écriture $u_n=u_0+n.r$, $n$ est à la fois est l'indice du terme $u_n$ et le facteur de $r$ .
On substitue $n$ par $n+1$ signifie : on réécrit l'égalité précédente pour l'indice succédant à $n$, à savoir $n+1$.
Nécessairement ${n+1} \gt n$ mathématiquement.

• l écriture $u_n=u_0+n.r$ se traduit par : $u_{10}=u_0+10.r$  lorsque n est substitué par 10

Ce sont deux substitutions de nature différentes, où le verbe substituer n'a pas le même sens.

@Yann : J ai en effet l’impression que tu confonds langage mathématique et langage informatique.
En informatique lorsque qu on écrit $n=n+1$ c'est un code qui signifie que $n$ est incrémenté (ou augmente) de 1.
En math.. Yoshi a donné la réponse..

Satisfait ou remboursé ?

Dernière modification par Zebulor (31-12-2019 11:44:34)


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#11 31-12-2019 20:11:00

yannD
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Re : Suite (Principe de récurrence)

bonsoir , satisfait      Bon réveillon !!!!!!

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