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#51 30-12-2019 23:42:29

72Messo10
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Bah j'ai une réponse à te donner en faite je suis dans une classe de première assez spéciale qui a pour but de préparer au cpge donc peut être qu'il s'est dis que c'etait le moment de rentrer dans le dur (y'a la même classe en terminale si tu te le demandes)
Merci en tous cas pour ton aide il ne me reste que la question 3 dont la seule idée que j'ai serai d'encadrer racine de 2 entre deux nombres qui repondes au égalités que vous avez démontre

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#52 31-12-2019 00:10:36

Maenwe
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Je ne connaissais pas ce genre de classe ! Hmmm ça a l'air d'être intéressant, mais si ton professeur à une solution qui ne ressemble pas à la mienne j'aimerai voir ça si ça ne te gêne pas ;)
Je suis un peu surpris que tu ais compris cette idée de divisibilité, c'est que tu dois être plutôt lucide alors. Si tu comprends le pourquoi du comment de la solution que je t'ai proposé je pense que tu peux regarder un peu en quoi consiste cette division euclidienne pour les polynômes... ça peut-être intéressant pour plus tard.

Quant à la 3... Oui c'est une bonne idée mais ce n'est pas vraiment ce que la question demande, c'est une question d'interprétation, à mon avis ce que l'on demande c'est une condition suffisante pour avoir une très bonne approximation, regarde la question 2., on a montré que si $a,b$ respectent une certaine condition alors on ne peut approcher $\sqrt{2}$ à moins de $4.10^{-17}$ par un rationnel, donc quelle est la "bonne" question à se poser ?

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#53 31-12-2019 00:19:11

72Messo10
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Je mettrai le corrigé du dm si tu veux même s'il est composé d'exo très différents qui peuvent aller de trouver simplement le volume d'un cube évidé à exécuter une démonstration aussi invraisemblable que la 4 même si au final je pense à voir bien compris l'idée de divisibilté même si j'aimerai bien avoir une démonstration de cette dernière si tu peux me la fournir cela ne serait pas de refus
Merci de ton aide

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#54 31-12-2019 00:20:17

72Messo10
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Après je peux envoyé un mail à mon prof si tu veux savoir si c'est ce qu'il attendait.

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#55 31-12-2019 08:09:28

yoshi
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

RE,

@Maenwe:
Tu as mis dans le mille : va jeter un œil ici : https://www.wolframalpha.com/input/?i=a … ++c%5E3%29

@+


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#56 31-12-2019 09:47:57

Maenwe
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Bonjour,
@Yoshi oui je connaissais wolframalpha mais je n'ai pas pensé à l'utiliser ! Mais c'est rassurant que la machine est d'accord avec les calculs...
@72Messo10, voici la solution du 4. toute rédigée :
D'après les calculs de Yoshi, le triplet de réels $(a,b,c)$ vérifie $(ab+ac+bc)^{3}=abc(a+b+c)^{3}$ ssi il vérifie $a^3 b^3  + a^3 c^3 + b^3 c^3 = abc(a^3   + b^3  +  c^3)$.
Maintenant ce que je me suis dit c'est qu'il serait pas mal de regarder ça d'un point de vue analytique et/ou algébrique, étant donné que je ne voyais pas comment faire avec des dérivés de fonction, j'ai pris le point de vue algébrique et chercher à factoriser l'expression :
je remplace $c$ par $x$ et j'obtiens :
$0 = ab. x^{4} - (a^{3}+b^{3}).x^{3} + ab.(a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{3} = ab.(x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2})$
On suppose que $a,b \not = 0$.
Je pose donc $P(x) = x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2}$.

Grâce à la remarque de freddy (son dernier post sur cette discussion), on sait que le triplet : $(a,b,z)$ ($z=\frac{b^{2}}{a}$) vérifie $a^3 b^3  + a^3 z^3 + b^3 z^3 = abz(a^3   + b^3  +  z^3)$.
Donc $P(\frac{b^{2}}{a})=0$ (ou alors ça se constate par calcul direct par contre je doute que sans le raisonnement précédent, wolframalpha ou une intuition hors du commun on puisse deviner cette racine).
De la même manière on remarque que : $P(\frac{a^{2}}{b})=0$.

Donc étant donné que tu n'as pas vu la division euclidienne pour les polynômes, on va faire autrement pour la suite.
Donc comme je l'ai dit dans le post #50 on peut se demander s'il n'existerait pas un polynôme $P_{1}$ tel que $P(x) = (x-\frac{b^{2}}{a})(x-\frac{a^{2}}{b}).P_{1}(x)$ (autrement que par l'intuition je ne vois pas comment aboutir à cette idée, désolé).

On cherche $P_{1}$ vérifiant l'égalité ci-dessus et de la forme suivante (car le degré de $P$ est 4) : $P_{1}(x) = x^{2} + \alpha x +\beta$.
Donc :
$(x-\frac{b^{2}}{a})(x-\frac{a^{2}}{b}).P_{1}(x) = x^{4} - (\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha).x^{3} + (\frac{b^{2}}{a}.\frac{a^{2}}{b} - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b})x^{2} + (\alpha.\frac{a^{2}}{b}.\frac{b^{2}}{a} - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}).x + \beta.\frac{a^{2}}{b}.\frac{b^{2}}{a} \\
= x^{4} - (\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha).x^{3} + (ab - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b} + \beta)x^{2} + (\alpha.ab  - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}).x + \beta.ab$

Rq : soit $Q(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}q_{k}.x^{k}$ et $R(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} r_{k}.x^{k}$. alors on a :
$Q=R$ ssi pour tout $k \in [\![1,n]\!]$ $q_{k}=r_{k}$. (se démontre par dérivation successive et en évaluant chaque dérivée en 0).

Puisque par définition $P(x) = x^{4} - \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}.x^{3} + (a^{3} + b^{3} ).x - (ab)^{2}$, on a :
$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab} = \frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b} - \alpha$
$0 = ab - \alpha.\frac{b^{2}}{a} - \alpha.\frac{a^{2}}{b}$
$a^{3} + b^{3}  = \alpha.ab  - \beta.\frac{a^{2}}{b} - \beta.\frac{b^{2}}{a}$
$- (ab)^{2} = \beta.ab$

Et là je te laisse faire les derniers calculs (que je n'ai pas fait, donc si ça n'aboutit pas dit moi et je regarderai ça) et tu es censé(e) obtenir que $P_{1}(x) = x^{2} - ab$.

Donc le triplet $(a,b,c)$ vérifie $(ab+ac+bc)^{3}=abc(a+b+c)^{3}$ ssi $P(c) = 0$ ssi $c = \frac{a^{2}}{b}$ ou $c = \frac{b^{2}}{a}$ ou $c^{2} = ab$.
Et je te laisse conclure à l'aide du post #50 ;)

Dernière modification par Maenwe (31-12-2019 10:46:09)

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#57 31-12-2019 10:40:43

freddy
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Salut,

sincèrement, ça me parait très, très compliqué et ne suis pas sûr que ce soit ce qui est attendu. Si oui, je pense que des indications auraient été données, car c'est d'un niveau très supérieur à celui une classe de première, même spécialisée. Je pense que même dans les années 50, un tel sujet aurait fait l'objet d'étapes intermédiaires.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#58 31-12-2019 10:45:05

Maenwe
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

C'est bien ce que je pensais... Surtout avec cette idée de division de polynômes... Du coup il doit y avoir plus simple mais je ne vois pas vraiment.

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#59 31-12-2019 10:50:31

freddy
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Perso, je pense que c'est la démarche que j'ai adoptée, qui permet de passer du membre de gauche à celui de droite sous l'hypothèse d'une suite géométrique. Attendons la solution du prof, je suis très curieux de la connaître.
Il y a des profs du lycée ici, ils pourraient nous dire.


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#60 31-12-2019 12:06:53

yoshi
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Salut,


@72Messo10
Soit à diviser $x^3 -1$ par $x-1$ :


   x3     -1  | x-1
- (x3-x2)     | x2+x+1
=     x2  -1  |
   - (x2-x)   |
   =     x-1  |
      - (x-1) |
        = 0   |

On fait la division des polynômes comme on apprend maintenant à faire les divisions en primaire :
- en effectuant les multiplications,
- en posant les soustractions et en les effectuant,
- en abaissant le terme suivant.
Le point positif : pas de tenues à gérer !

Regarde bien...
Si tu as des questions n'hésite pas !

@+


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#61 31-12-2019 12:20:20

72Messo10
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Je pense que c'est la réponse attendu car depuis le début de l'année ils nous posent des exo comme sa,  et nous dit de réfléchir, chercher et découvrir de nouvelles notion, par exemple en début d'année on avait commencé par les vecteurs et pour les vacances d'octobre ils nous avait donné un dm sur les sous espaces vectoriels alors qu'on avait aucune notion dessus sinon yoshi c'est comme si je cherchais à factorise x^3 -1 par x-1

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#62 31-12-2019 12:49:27

freddy
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Re,

si tu as étudié les vecteurs, ce n'est pas très difficile de travailler ensuite sur les sous espaces vectoriels, car tu as définitions et propriétés en main.

L'exo de la Q4 suppose que tu ailles dans des territoires dont tu ne soupçonnes même pas l'existence : c'est le travail d'un mathématicien professionnel, pas d'un lycéen. Ou alors, il faudrait que tu nous dises ce que tu as vu en cours, car à ton niveau, tu ne peux pas inventer ce que tu ne connais pas, ni aller investiguer des notions dont tu ne connais même pas le nom, c'est mission impossible.

Dans mon jeune temps, j'ai connu des trucs comme ça, mais ce n'était jamais sans filet, on était guidés et ça restait très difficile car il y a beaucoup de choses à gérer en même temps et qu'on ne connait pas bien. Après, si vous êtes une pépinières de futurs médaillés Fields, je veux bien faire amende honorable ;-)

Dernière modification par freddy (31-12-2019 12:53:25)


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#63 31-12-2019 13:21:31

yoshi
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

Re,

@72Messo10
Tout à fait, si le reste final est 0...

@+


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#64 31-12-2019 13:44:39

72Messo10
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Re : exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

J'ai envoyé un mail à mon prof avec ta réponse et il a affirmé que c'est ce qu'il attendait, il m'as dis que c'est pck à la rentrée on commencera sur un nouveau chapitre qui est donc là divisibilté des polynômes et leurs factorisation.

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