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#1 21-12-2019 23:29:47

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 18

Décomposition de Gauss / # de carrés

Bonjour,

je peine à "orthogonaliser" une forme quadratique, a priori non-dégénérée, sur un espace vectoriel $E$ (de dimension 3 dans mon exercice). En l’occurrence, je tombe toujours sur 2 carrés, ou davantage avec des termes linéaires restants (l'algorithme de décomposition de Gauss).

Deux questions me viennent:

1) Soit $n=\dim E$. Est-on assuré de l'existence d'une décomposition en au moins n carrés ?

EDIT:  ok oui, j'étais passé à côté des remarques de cette page wiki.

2) Le fait de n'avoir plus que des termes linéaires à la k-ième itération de l'algorithme (1<k<n) invite-il à passer au "deuxième cas" (ref) (il me semble que oui, mais...doute)?

Dernière modification par Chris (23-12-2019 00:55:36)

Hors ligne

#2 22-12-2019 22:28:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 409

Re : Décomposition de Gauss / # de carrés

Bonsoir

1) ce n’est pas en au moins n carrés c’est en au plus n carrés.

2) il n’y a pas de termes linéaires mais des double produits dans la forme quadratique. Et oui quand il n’y a plus que des termes comme cela on passe au deuxième cas.

F.

Hors ligne

#3 23-12-2019 00:54:40

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 18

Re : Décomposition de Gauss / # de carrés

Bonsoir,

merci pour votre réponse.

1) oui d'accord; la forme en question est en fait dégénérée finalement (erreur de calcul, la matrice est de rang 2). Du coup, je me suis évertué à essayer d'obtenir trois carrés, en retombant toujours, forcément (en particulier à la lumière de votre remarque), sur deux. D'où la question originale.

2) entendu;  oui effectivement usage parfaitement erroné du mot. Je voulais dire, vous l'avez compris, produit dont les facteurs sont différents (j'étais probablement en train de penser à la forme polaire, bilinéaire, et du coup...)

Belle fêtes,

Hors ligne

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