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#1 11-12-2019 21:53:43

Wilno
Invité

Pourquoi les mathématiques ca marche ?

Salut a tous !

Je suis en 2eme année de prépa scientifique et une question me taraude pas mal l'esprit : pourquoi les maths ca marche ?

Explications de la question:
Au début, je ne comprenais pas comment les nombres complexes , qui (je le pensais) n'avaient aucune réalité physique, pouvaient aider a résoudre des problèmes réels. Mais en fait j'ai réalisé que le problème des nombres complexes n'était pas uniquement lié aux complexes mais aux nombres en général.

Ma question est donc de savoir comment les mathématiques (concept 100% abstrait) peut nous aider a prédire le réel (100% concret) ?

Quand on lance un caillou, on peut faire un PDF pour savoir où il va tomber mais la nature, elle, ne fait pas de PFD et ne fait "rien" en quelque sorte. Les intéractions font leur boulot. Mais comment peut on modéliser des intéractions avec des nombres ? Pourquoi les intéractions entre les particules est prévisible ?
Pour quelle raison le principe de cause a effet est il tout le temps vrai ? Pourquoi un effet ne peut pas arriver sans cause ? Jamais la nature ne se "dit" ah ben non je peux pas bouger le caillou vu que rien ne l'a poussé. Pourquoi alors le caillou ne bougerait pas ? Qu'est ce qu'il l'en interdit ? A priori des lois mathématiques mais bon pourquoi peut on dire qu'elles s'appliquent puisque la "nature" n'en a pas "consience" (ca fait beaucoup de guillemets tout ca !)

Derrière tout ca se cache surement la question de savoir si les maths sont une découverte ou une invention !

Toutes ces questions sont en quelque sorte une seule et meme question vous l'aurez compris mais comme elle est difficile a formuler je l'ai posée sous différents angles. Mais c'est pas facile a visualiser comme problème (meme moi qui me le pose j'ai du mal)


Merci de m'avoir lu, et si quelqu'un a au moins une piste de réflextion je suis preneur :)

#2 12-12-2019 09:27:28

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 338

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

Bonjour,
Je me suis déjà posé la question (depuis longtemps à vrai dire), et je suis arrivé à quelques réponses après avoir longuement réfléchi et posé des questions à mes professeurs (ce que tu devrais faire si tu ne l'as pas fait ! La plupart seront heureux de te répondre !).
Un premier point pourrait-être :
Comment historiquement la mathématique a été construite ?
Et quand on lit des livres traitant de l'histoire des mathématiques, par exemple, l'apparition des nombres : l'humanité a eu besoin de représentations de quantité, pour compter les bêtes (montons, etc.), l'argent, etc.
Prenons un autre exemple plus générale : la mesure, par exemple mesurer la vitesse, qu'est ce que la vitesse ? C'est la distance parcourue par unité de temps, donc par exemple pour 2m/s, en 2 secondes on fait 4 mètres, en 3 on fait 6  mètres, etc. et on remarque qu'en fait de telles opérations corresponds à des multiplications... D'où l'apparition de l'utilisation de la division... Et on obtient une formule pour la vitesse : $v = \frac{\Delta d}{t}$ et $t$ est le temps mesuré le long de l'expérience.
Ceci est la vitesse moyenne et on peut remarquer qu'en diminuant le temps de mesures on peut prédire la tendance de comportement du mouvement le long du temps (croissance, décroissance, etc.), mais que se passe t'il si on diminue de plus en plus le temps de mesures ? On obtient la dérivation, on appelle ça la vitesse instantanée...
Le fait est que la mathématique a été énormément fournis par les besoins de la physique... Mais l'inverse est vrai aussi : la physique a énormément été nourris par la mathématique ! Mais pourquoi ? Et bien si on postule que la mathématique a été créé par des besoins "physique", seulement ce qu'ont fait les physiciens de l'époque qui étaient très souvent aussi des mathématiciens (ce n'est que relativement tard qu'est apparu la notion de n'être que mathématicien, enfin à ma connaissance) c'est d'étendre les notions connus, que se passe t'il si j'étends abstraitement cette fonction selon des déductions logiques (en fait on est obligé en math de faire des déduction logique pour aboutir à des conclusions), et "oh magie" on obtient des prédictions et/ou des explications corrects de l'univers connu... Cela montre tout simplement que nos déduction logiques sont les bonnes...
Mais qu'est-ce donc qu'une déduction logique (je te conseille de lire le "Théorème de Gödel" de Ernest Nagel/James R.Newman/Kurt Gödel/Jean-Yves Girard) ? Ce sont des règles qui nous semble évidentes que l'on applique astucieusement pas à pas... Et c'est comme ça que l'on fait pour construire un système logique, on se donne une liste d'axiome, qui sont des affirmations que l'on considère comme vraie, et une liste de règle de déclinaison (concept similaire aux règles de grammaires) qui te dise ce quelles actions tu peux faire faire à ces affirmations (axiomes)....

Donc, ce qui est étonnant ce n'est pas tant que la mathématique "fonctionne" (et encore c'est à discussion), mais que le monde observable soit d'une étonnante régularité... peut-être cette vidéo t'aidera un peu aussi : Le réalisme scientifique

Pour en revenir aux nombres complexe, ils n'ont pas plus de réalité scientifique que n'en a les irrationnels... On a l'impression de comprendre les réels mais c'est faux... Regarde les nombres transcendants, c'est tout simplement ouah ! Ou plus simplement prends $\sqrt{2}$, on ne sait pas le représenter... En conséquences on ne connait pas la solution de cette équation $x^{2}=2$.
La question est donc : les nombre irrationnels ont-ils réellement une réalité scientifique ? Est-ce seulement un artifice pour résoudre des équation comme le sont les nombres complexes... et de même des concepts physique tel que les électrons... Sur ce thème je te renvoie vers une autre vidéo : Êtes-vous assis sur des électrons ?
Un exemple encore plus frappant est le théorème de Banach-Tarski (je te conseille le très bon livre détaillant sa démonstration (j'étais aussi en deuxième année de prépa quand je l'ai lu bien qu'il aborde des notions de niveau L3) c'est : "Le paradoxe de Banach-Tarski" de Marc-Guinot).

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#3 12-12-2019 09:55:13

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 841

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

Salut !
@Maewen : ton $\sqrt(2)$ me fait penser à une discussion récente. $\sqrt(2)+1$ serait un nombre en lien avec une légende d'un meurtre à l'antiquité...

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#4 12-12-2019 09:57:34

Matou
Invité

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

Bonjour,

ton interrogation me parait d'abord être une interrogation sur le concept de réalité.

Quand on lance un caillou, on voit qu'il tombe au sol. C'est une certitude depuis toujours. Pourtant, il convient de s'interroger sur le sens de cette constatation. D'abord, ce sont nos sens qui nous informent sur ce qui se passe. En premier lieu, la vue et parfois le toucher quand le caillou tombe sur notre pied. En conséquence, nous n'avons pas accès directement à l'expérience, nous n'avons accès qu'à une image de celle-ci donnée par nos sens et transmise à notre cerveau.

Partant de là, nous construisons une image mentale de cette expérience qui est fondée sur une construction abstraite (la mécanique en l’occurrence). Cette image nous fournit une sorte de carte pour explorer le monde physique. Elle est sous-tendue par les mathématiques : on suppose l'espace euclidien, on modélise des interactions avec la loi de Newton... et puis si la carte ne marche plus, on en imagine une plus sophistiquée telle que la mécanique relativiste.

Ce qu'il est important de comprendre, c'est que ces mathématiques sous-jacentes découlent d'axiomes et que l'on choisit soigneusement ces axiomes de manière à ce que tout le monde s'accorde à penser qu'il décrivent correctement la carte du monde physique. En conséquence, si les mathématiques "marchent", c'est parce qu'on les construit de manière à ce qu'elles collent à la représentation que l'on se fait du monde. Par exemple, il est intéressant de regarder les travaux de Woodin  pour comprendre comment se construit l'axiomatique.

Note qu'il existe bien d'autres compréhensions des rapports entre les mathématiques et la physique exposés dans pas mal de traités de
philosophie des mathématiques

Cordialement

Matou

#5 12-12-2019 10:15:03

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 338

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

@Zebulor, en ce qui concerne le code latex pour la racine carré écris simplement (par exemple pour $\sqrt{2}$) : \sqrt{2} ;)
Hmm oui, la légende porte sur $\sqrt{2}$ (non pas sur $1+\sqrt{2}$ mais vu que cette quantité contient $\sqrt{2}$, il y a un lien ^^), c'est à l'époque de Pythagore et de sa secte que se déroule cette légende, ça te dit peut-être quelque chose ?

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#6 12-12-2019 14:33:42

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 841

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

@Maenwe : oui noté. j 'ai écrit dans la précipitation. Quant à Pythagore, je n'en connais que le théorème auquel il a donné son nom.
Ca me rappelle un collègue qui passait un concours interne. A L oral l examinateur llui demande "que connaissez vous de Coriolis ?
Réponse du collègue "rien d'autre que la force à qui il a donné son nom."
Réponse de l'examinateur  "c ''est bien dommage Monsieur", ce qui a eu le don d'énerver légitimement mon collègue... qui a échoué à son concours.

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#7 12-12-2019 14:58:35

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 338

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

@Zebulor, ce collègue a loupé le concours à cause de ceci ? Je ne connais pas du tout Coriolis en dehors de la "force" (en réalité ce n'est pas une force, c'est pour ça que je mets de guillemets) qui porte son nom...

C'est une légende plutôt connu, en fait à l'époque Pythagore a fondé une école mathématique qui s'apparente aujourd'hui plutôt à une secte, il avait comme précepte que tout dans la nature était représentable par des rapports (ie. les nombres rationnels), c'est d'ailleurs l'un des premiers qui a théorisé la musique (qui est faite pratiquement que de rapports : 1/4 de ton, 1/2 ton, 8 tons, 2 croches = 1 noir, etc.), et pour lui il n'en pouvait être autrement. Mais le jour où il a tenté de calculer la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, il s'est aperçu que le résultat ne pouvait être le quotient de deux nombres, et il a fait garder ce secret des autres membres de la secte. Or un des membres a aussi découvert ceci, et là je ne sais plus trop ce qu'il s'est passé (peut-être qu'il a voulu le dire aux autres), ce qui est "sûr" c'est qu'on la fait assassiné pour ça...

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#8 12-12-2019 15:25:28

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 841

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

@Maewenn : loupé à cause de ceci probablement pas. Les oraux de concours dans l'administration se jouent parfois à la tête du client.. pour ma part, j'ai même connu des examinateurs incompétents. Certains concours sont en fait des entretiens d'embauche qui ne disent pas leur nom. Mais il ne faut pas généraliser non plus. C'est un autre sujet.
Une école mathématique qui serait une secte ? alors mieux vaut aimer les maths car il est très compliqué de sortir d'un secte!

Dernière modification par Zebulor (12-12-2019 15:25:47)

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#9 12-12-2019 17:57:11

Wilno2
Membre
Inscription : 12-12-2019
Messages : 1

Re : Pourquoi les mathématiques ca marche ?

Bon, déja merci pour ces réponses !

Oui j'en ai parlé a mes professeurs, mais bien qu'ils soient vraiment compétents ils n'ont pas eu l'air de comprendre ma question...Surement parcequ'ils ne comprenaient pas en quoi ca se ramenait a une question sur le programme. Aaaah le sytème prépa :) 

Tu as raison Maenwe la question se pose pour tous les irrationnels, mais bon après tout la définition d'un "nombre" est tellement abstraite qu'a partir du moment où on a décidé qu'on pouvait les manipuler, il n'y a pas de raison de s'arrêter aux concetps de notre bon sens paysan.

Et oui en fait comme vous le dites avec Matou, une piste solide est de partir du fait que les maths ont été "inventés" de façon a coller au monde réel. Finalement, on a rien inventé mais on a traduit des notions d'un concept a un autre (Concret -> Maths).
C'est peut etre un peu comme la traduction de notions réelles en mots totalement abstraits. En soit "Table" et une table (pas le mot, l'objet !) ça n'a rien à voir vu que par leur nature meme ces deux concepts sont totalement différents. Mais il existe un lien entre les deux et on utilise les mots pour manipuler les notions plus facilement.

Après tout, c'est pareil pour les maths. Comme vous le dites en fait les maths ne marchent pas par magie mais parceque justement ses règles collent avec celles de la réalité. Si dans la réalité les objets se mettaient a bouger sans raison, le principe de cause a effet serait un non sens total et les mathématiques auraient fonctionné de manière tout a fait diffénrente.
Comme tu dis Matou, tout part des axiomes qu'on fait coller avec des comportements du "vrai".

Eh bien c'est intéressant tout ca quand meme ! Je vais regarder les vidéo et je vais jeter un coup d'oeil aux livres, ca m'a l'air pas mal du tout !

mais alors comme tu dis Maenwe la question au final c'est peut être de savoir pourquoi le monde marche comme ca ? Soit, de toutes façons on aurait pu modéliser le monde quelqu'il soit. Mais bon, maintenant qu'on est dans celui la, meme si c'est un cas a part parmi l'infinité de mondes possibles (j'entends mondes qui auraient des lois physiques totalement différentes), on peut se demander pourquoi.

Bon évidemment je sais qu'on aura jamais la réponse mais après tout si on la trouvait un jour, ca serait triste non ? Plus de mystères éternels, plus rien a découvrir ! Ca n'empeche pas de réfléchir parceque de toutes façons on a pas beacoup de chances de trouver donc aucun risque de gâcher le suspense XD

Wilno

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