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#1 09-12-2019 19:46:44

Pmk
Membre
Inscription : 11-11-2019
Messages : 5

Suites

Soient K un réel strictement supérieur à 1 et (epsilon n) n€|N une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit (Un)n€N  une suite de réels de [0,1] vérifiant
Pour tout n naturel, 0<= Un+1<=(Un+epsilon n)/K.
La suite (Un) converge t-elle vers 0?

Je pense que pour K très grand, Un+1 tend vers 0.
Mais en classe, mon prof m'a dit de chercher une suite qui obéi à ces conditions mais qui ne converge pas vers 0.
Je n'arrive pas

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#2 09-12-2019 20:52:15

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 749

Re : Suites

Bonsoir,

J'imagine qu'il faut que, étant donné n'importe quel $K>1$, tu trouves une suite $(\varepsilon_n)$ positive tendant vers $0$, et une suite $(u_n)$ de réels entre $0$ et $1$ une tendant pas vers $0$ telles que
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{K}.$$

Tu peux essayer dans un premier temps de prendre $K=2$ (pour voir), puis de chercher des suites pour que l'inégalité soit une égalité :
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} = \frac{u_n+\varepsilon_n}{2}.$$

Tu auras alors
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_n =  \frac{u_0}{2^n} + \sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^j\, \varepsilon_j}{2^n}.$$

La question est donc la suivante : sais-tu trouver une suite $(\varepsilon_n)$ positive tendant vers $0$ telle que
$$\lim_{n\to +\infty} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^j\, \varepsilon_j}{2^n} \neq 0 \quad ?$$

Je ne sais pas si c'est la bonne piste...

Roro.

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#3 09-12-2019 21:05:53

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 771

Re : Suites

Bonsoir,
quoiqu'il en soit le choix : $K=2$, $u_n=\varepsilon_n=\frac {1}{n+1}$ est compatible avec la convergence de la suite $(u_n)$ vers $0$, laquelle ne nécessite donc pas que $K$ soit très grand ... au contraire l'inégalité :
$$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{K}.$$ est d'autant plus vérifiée que K se rapproche de 1

Dernière modification par Zebulor (11-12-2019 09:38:56)

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#4 09-12-2019 21:25:27

Pmk
Membre
Inscription : 11-11-2019
Messages : 5

Re : Suites

OK. Merci beaucoup

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#5 09-12-2019 22:40:47

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 771

Re : Suites

Re,
Je propose ceci comme contre exemple de mon post précédent :
la condition imposée sur K implique que pour tout $n$ de N :
$\varepsilon_{n} \gt u_{n+1}-u_{n}$
Or $\varepsilon_{n} \ge 0$ Par hypothèse. Alors les suites suivantes :
$u_n=\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{n+1}}$ et $\varepsilon_{n}=\frac {1}{n+1}$ conviennent. Et la suite (Un) ne converge pas vers 0 en l infini.
Plus simplement encore toute suite $u_{n}$ constante vérifiant la condition de l'énoncé convient, y compris…. la suite nulle !

Conclusion : n'importe quelle suite $(u_n)$ strictement décroissante ou constante vérifiant $u_n \in [0;1]$ convient.
Ce qui n'enlève rien à l'intérêt de la piste de Roro… au sujet de laquelle j'ai néanmoins un doute sur l'expression de $u_n$ avec le signe $\Sigma$

Mais alors est ce que pour tout entier $n$ entier il existe une suite $(u_n)$ croissante telle que $u_n \in [0;1]$  et vérifiant la propriété :
$\forall n\in \mathbb N\qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{K}$, avec K réel strictement supérieur à 1

Dernière modification par Zebulor (10-12-2019 16:52:52)

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#6 10-12-2019 20:45:25

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 749

Re : Suites

Bonsoir,

J'ai peut être loupé une étape ou alors je n'ai rien compris mais je ne vois pas comment une suite $(u_n)$ constante non nulle peut être un contre-exemple !

Si $u_n=u$ alors on n'a certainement pas
$$\forall n\in \mathbb N \qquad u_{n+1} \leq \frac{u_n+\varepsilon_n}{2}$$
car cela signifierait que
$$\forall n\in \mathbb N \qquad u \leq \varepsilon_n...$$

Roro.

P.S. Je ne trouve pas d'erreur dans ce que j'ai écrit.  D'ailleurs, en prenant $\varepsilon_n=\frac{1}{n+1}$, il "suffit" de montrer que
$$\sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^{j-n}}{j+1} \quad \text{ne tend pas vers $0$}$$

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#7 10-12-2019 21:12:11

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 771

Re : Suites

Salut,
@Roro : après relecture tu as raison au sujet de la suite constante non nulle. Seule la suite nulle convient dans ce cadre là et mon raisonnement est à revoir au moins en partie, de même que les exemples de suite de mon dernier post. Aux alentours de minuit il est finalement risqué de  faire des maths.

Par contre, et sauf erreur de ma part, et c'est ce qui m'a fait douter  :
on a : $$\sum_{j=0}^{n-1} \frac{2^{j-n}}{j+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p}}{p}$$,

Et quand $n$ tend vers l'infini il me semble que cette somme partielle :

$$S(n)=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p}}{p} \quad \text{tend bien vers $0$}$$ car un équivalent de S(n) en l’infini semble Être  : $\frac {1}{n}$ expérimentalement... du moins jusque $n$=1000...

Certes ce n'est pas une preuve formelle, mais çà interpelle.
Il se trouve que dans mon post 3, les suites :

$$u_n=\varepsilon_n=\frac {1}{n+1}\text{répondent pourtant au sujet pour K=2 ...}$$

Dernière modification par Zebulor (11-12-2019 18:00:38)

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#8 11-12-2019 19:13:09

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 749

Re : Suites

Zebulor a écrit :

Salut,
Et quand $n$ tend vers l'infini il me semble que cette somme partielle :
$$S(n)=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p}}{p} \quad \text{tend bien vers $0$}$$ car un équivalent de S(n) en l’infini semble Être  : $\frac {1}{n}$ expérimentalement... du moins jusque $n$=1000...

Tu as raison...
Il faut donc trouver autre chose que $\varepsilon_j=\frac{1}{j+1}$.

Zebulor a écrit :

Il se trouve que dans mon post 3, les suites :
$$u_n=\varepsilon_n=\frac {1}{n+1}\text{répondent pourtant au sujet pour K=2 ...}$$

oui, et alors ? la suite $(u_n)$ tend vers $0$ : ce n'est donc pas un contre exemple !

Roro.

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#9 11-12-2019 19:29:32

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 771

Re : Suites

Re,
Ce n’est donc pas un contre exemple. Et je n’ai jamais pensé qu il l’était ou alors je me suis mal fait comprendre..
Ok : je viens de comprendre la raison de ta deuxième citation dans ton post #8 en relisant ton post 2 ou tu traites le cas du contre exemple.

Dernière modification par Zebulor (11-12-2019 19:30:03)

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