Proba conditionnelle - Deux stations météos

tibo · 05-12-2019 13:16:27

Salut,
Une collègue m'a posé un problème que sa fille a eu en Khôlle.
Et je dois avouer qu'il me pose quelques difficultés.
Je n'ai pas l'énoncé exact, mais le voilà en substance :

"On s'intéresse à la probabilité qu'il pleuve demain.
Des études statistiques ont montré qu'il pleut 1 jour sur 3.
Deux stations météos A et B tentent prédire cela plus précisément.
La station A est fiable à 95%, c'est-à-dire que s'il pleut demain, il y a 95% de chance qu'elle l'ait prédit ; et s'il ne pleut pas, il y a 95% de chance qu'elle l'ait prédit.
La station B est fiable à 90%.

Pour demain, la station A a prédit qu'il pleuvra, la station B non.
Quelle est la probabilité qu'il pleuve demain ?"

Ça ressemble beaucoup à un problème de proba conditionnelle très classique, mais le fait qu'il y ait 2 stations complique un peu la chose...

On considère les événements
$P$ : "Il pleuvra demain."
$A$ : "La station A prédit de la pluie."
$B$ : "La station B prédit de la pluie."

On a $p(P)=\dfrac{1}{3}$
$p_P(A)=0.95$ et $p_{\overline{P}}(\overline{A})=0.95$
$p_P(B)=0.9$ et $p_{\overline{P}}(\overline{B})=0.9$.

On cherche à calculer $p_{A\cap\overline{B}}(P)$.

Alors calculer $p_{A}(P)$ et $p_{\overline{B}}(P)$ c'est facile, mais $p_{A\cap\overline{B}}(P)$...
Un indice ?

Dernière modification par tibo (05-12-2019 13:16:47)

verdurin · 05-12-2019 17:29:47

Bonsoir,
pour pouvoir répondre on peut supposer une forme d'indépendance entre A et B.

En d'autres termes on suppose $p_{P\cap B}(A)=p_{P\cap\overline B}(A)=p_P(A)$ et $p_{\overline P\cap B}(\overline A)=p_{\overline P\cap\overline B}(\overline A)=p_{\overline P}(\overline A)$ puis la même chose en échangeant A et B.

Ça permet de tout calculer.

Au passage je trouve que la probabilité qu'il pleuve demain est alors d'environ 0,51.

tibo · 06-12-2019 00:41:47

ha oui... comme ça, ça marche bien.

Sauf que de ce que j'en sais l'énoncé ne précisait pas une telle indépendance.
Je demanderais à ma collègue si elle peut me donner l'énoncé original

verdurin · 06-12-2019 01:36:42

Si l'énoncé ne précise pas de lien entre les prévisions de A et celle de B il est impossible de répondre à la question.

Autrement dit : soit tu prends mon hypothèse, soit il faut des données supplémentaires.

freddy · 07-12-2019 18:48:26

Salut,

je pense que l'hypothèse d'indépendance est en effet essentielle et naturelle, et pour le calcul, je trouve quelque chose du genre
$0.5\times 0.95 + 0.5\times 0.10 = 0.525$, une moyenne arithmétique simple des deux prévisions météo (indépendantes entre elles).
C'est marrant car la première information (il pleut un jour sur 3) vient plus polluer les débats qu'apporter de l'information.

verdurin · 10-12-2019 12:42:55

Salut freddy.

Je ne suis pas du tout d'accord avec toi : il faut avoir une probabilité a priori pour la pluie.

Mes calculs, où M désigne l'événement « il pleuvra demain », $\alpha=P(A|M)=P( \overline{A}|\overline{M})$, $\beta=P(B|M)=P(\overline{B}|\overline{M})$ et $m=P(M)$.

On a facilement :
$P(A\cap M)=\alpha m\;; P( \overline{A}\cap \overline{M})=\alpha(1- m)\;; P(B\cap M)=\beta m\;; P( \overline{B}\cap\overline M)=\beta(1- m)\;;$
puis
$P( \overline{A}\cap M)=(1-\alpha) m\;; P(A\cap \overline{M})=(1-\alpha)(1- m)\;; P( \overline{B}\cap M)=(1-\beta) m\;; P( B\cap\overline M)=(1-\beta)(1- m)\;;$

De $P(A|\overline{B}\cap M)=\alpha$ on tire
$P(A\cap\overline{B}\cap M)=\alpha P( \overline{B}\cap M)=\alpha(1-\beta)m.$

De même on a
$P(A\cap\overline{B}\cap \overline{M})=(1-\alpha) P( \overline{B}\cap \overline{M})=(1-\alpha)\beta(1-m).$

D'où
$P(A\cap\overline{B})=\alpha(1-\beta)m+(1-\alpha)\beta(1-m).$

Et enfin
$P(M\vert A\cap\overline{B})=\dfrac{\alpha(1-\beta)m}{\alpha(1-\beta)m+(1-\alpha)\beta(1-m)}.$

De la même façon on trouve
$P(M\vert B\cap\overline{A})=\dfrac{(1-\alpha)\beta m}{(1-\alpha)\beta m+\alpha(1-\beta)(1-m)}.$

En prenant les valeurs numériques de départ :
$P(M\vert A\cap\overline{B})\approx 0,\!514 \text{ et }P(M\vert B\cap\overline{A})\approx 0,\!191$
on peut voir que ce n'est pas du tout une moyenne arithmétique : la prédiction de la station la plus fiable est celle qui compte le plus.

freddy · 10-12-2019 18:35:15

Salut,

si tu pouvais expliciter tes notations, ça me permettrait d'y voir plus clair.
A priori, si je comprends bien , tu regardes la proba que A annonce la plus demain sachant qu'il pleut demain ? Je ne saisis pas bien ...

Petite question statistique simple : si je m'en tiens à la théorie simple selon laquelle il pleut un jour sur 3, la proba qu'il pleuve demain = 1/3.
Mais les ingénieurs météo et leurs statisticiens se sont penchés sur le phénomène, ont étudié longuement la question et sont, eux, en mesure de prédire, avec un certain niveau de confiance (90 et 95 %) , s'il pleuvra ou non, demain. Je ne comprends donc pas l'intérêt ni l'utilité de la première information, qui ne sert plus à rien selon moi.
D'où mon calcul simple, peut-être trop, j'attends maintenant ta réponse.
A plus, je pressens une discussion intéressante, très possible que j'apprenne quelque chose, je veux bien que tu m'expliques.

PS : si je devais avoir une approche bayésienne du sujet, je pondèrerais les deux probas des deux stations par la confiance que j'ai en leurs prévisions (tirées de mes observations personnelles), et donc je n'aurais plus 1/2 pour chacune, qui est l'attitude qui trahit le manque total d'information en l'espèce.

tibo · 10-12-2019 18:42:14

Salut,

Je rejoins verdurin.
La probabilité qu'il pleut demain a priori est essentielle.

On peut le voir sur le cas extrême d'un pays où il ne pleut jamais : $P(M)=0$.
Dans ce cas, quelque soit la prédiction des stations météo, la probabilité qu'il pleuve reste à 0.

Et effectivement, l'indépendance des stations semble assez naturelle.

Merci verdurin pour les calculs ; je l'avais fait sur feuille, et j'ai trouvé la même chose, mais j'avais dû mal à trouver la motivation de l'écrire ici.

freddy · 10-12-2019 19:32:16

Re,

s'il ne pleut jamais, les deux stations météo vont prévoir, elles aussi, qu'il ne pleuvra pas demain avec une incertitude = 0 % !
Je pense qu'il y a un petit problème de logique : c'est parce qu'il pleut de temps en temps que les stations météo cherchent à faire mieux que le doigt mouillé ; s'il ne pleut pas ou s'il pleut tout le temps, on n'a pas besoin de station météo.
Si le truc est de faire faire des calculs de proba conditionnelles hors de tout contexte, pourquoi le présenter de cette façon ? Du coup, comment le présenter sans tomber dans ce problème d'interprétation ? Par exemple, des boules de couleurs différentes indiscernables au toucher et deux urnes ?
A suivre !

verdurin · 10-12-2019 20:11:47

Bonsoir,
mes notations non introduites sont celles de tibo dans son premier message :
$P$ : "Il pleuvra demain." J'ai remplacé $P$ par $M$ parce que $P(P)$ me semble propice aux confusions.
$A$ : "La station A prédit de la pluie."
$B$ : "La station B prédit de la pluie."
Conformément à la norme ISO 3534-1 je note $P(X\vert Y)$ la probabilité ( conditionnelle ) de $X$ sachant $Y$.
Ce que les programmes de mathématiques français veulent que l'on note $P_Y(X)$.

Pour transposer ça dans un modèle d'urnes et de boules :
On a deux urnes, une marquée « pluie » ( ou $M$ ) l'autre marquée « pas de pluie » ( ou $\overline M$ ).
Chaque urne contient $1\,000$ boules :
855 marquées $A$ et $B$, 95 marquées$A\overline B$, 45 marquées $\overline {A}B$ , 5 marquées $\overline {A B}$ dans l'urne $M$ ;
855 marquées $\overline {A B}$, 95 marquées$\overline A B$, 45 marquées $A\overline B$ , 5 marquées $AB$ dans l'urne $\overline M$ ;

On choisi au hasard une urne, avec la probabilité $m$ de prendre l'urne marquée $M$ mais on ne peut pas voir la marque de l'urne.
On tire une boule, elle marquée $A\overline B$.
Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne $M$ ?

freddy · 10-12-2019 23:45:58

Salut,

et merci pour ton illustration du théorème de Bayes. C'est vraiment tordu, il y a beaucoup plus simple, je pense, si c'était l'objectif pédagogique. Je pense que Fred a dû mettre dans sa liste d'exo des cas typiques, comme l'illustration qu'il propose, très connue en stat-proba. Elle a beaucoup plus de sens, à mon humble avis. Et si tu veux vraiment le fond de ma pensée, je pense que ce sujet est un non sens pédagogique, désolé pour ceux qui s'en servent pour coller nos jeunes.

Dernière modification par freddy (10-12-2019 23:49:18)

verdurin · 10-12-2019 23:57:03

Salut freddy.

Je ne comprends pas ton dernier message.

En particulier « C'est vraiment tordu, il y a beaucoup plus simple, je pense, si c'était l'objectif pédagogique.»

Si tu voulais bien m'expliquer ce que tu veux dire par là, je t'en serais reconnaissant.

D'avance merci.

freddy · 11-12-2019 00:18:25

Salut verdurin (tu as lu "La recherche" de Proust ?) !

Ce que je dis est que l'illustration du théorème de Bayes à travers ce sujet est peu explicite. Tu trouveras ici une liste très intéressante (va jusqu'à la mention de la formule de Bayes) et explicite d'application de ce théorème. Perso, je trouve que l'énoncé même pose problème, d'où ma lecture. Et je ne comprends pas comment on en déduit le théorème de Bayes, je vais relire et proposer une autre rédaction, si je trouve.
Il n'y a rien contre toi, bien entendu.

tibo · 11-12-2019 16:59:12

L'exercice classique que je donne à mes premières est le suivant :
"Une maladie touche une partie de la population.
Pour la dépister, il existe un test fiable à 95% : c'est-à-dire que si l'on est malade, le test est positif dans 95% des cas, et si l'on est sain, le test est négatif dans 95% des cas.
Je viens de faire le test, et il est positif. Quelle est la probabilité que je sois malade ?"

Posé ainsi, ce problème ne peut pas être résolu.
J'ai besoin de connaître la probabilité a priori que je suis malade.
En général, l'énoncé donne également la proportion de la population touchée par la maladie, et on l'utilise comme proba a priori.
Mais il existe des variantes où l'on considère d'autres paramètres (génétiques, environnementales,...) qui modifient la probabilité a priori.

Pour revenir au problème initial, il est facile de le transposer dans le contexte épidémiologique :
"Une maladie touche 1/3 de la population.
Il existe deux tests A et B pour la dépister, respectivement fiable à 95% et 90% (au sens défini plus haut).
J'ai passé les deux tests. Le A est positif et le B est négatif. Quelle est la probabilité que je sois atteint par cette maladie ?"

Et l'étude des cas extrêmes est peut-être plus réaliste. (Il est vrai que l’existence de stations météo dans un pays où il ne pleut jamais est étrange.)
On peut imaginer que cette maladie ne touche que les femmes et que je suis un homme.
Rien ne m'empêche de passer quand même les tests, et que l'un des tests soit positif.
La probabilité que je suis malade reste nulle.

verdurin · 11-12-2019 23:21:08

Salut freddy.
Je n'ai pas lu Proust, juste feuilleté.
Et j'ai trouvé que madame Verdurin me ressemblait assez, d'où mon pseudo.

À part ça je trouve que le « théorème de Bayes » est tellement trivial qu'il ne devrait même pas avoir de nom.

freddy · 11-12-2019 23:52:48

Salut tibo,

ta transposition à un problème de santé est parfaite et n'a pas besoin de commentaire particulier. C'est comme cela que j'aurais posé le problème, si j'avais dû le faire.
Pour le théorème de Bayes, je n'ai pas d'avis : quand les choses sont tellement intégrées qu'elles deviennent des évidences, on finit par oublier qu'il a fallu au début quelqu'un qui le "voit". Moi, j'aime bien rendre hommage à ceux qui nous ont montré pour la première fois.
Pour Proust, ce serait idiot de mourir sans avoir lu quelques tomes de la Recherche, voir tout. L'écriture est splendide et souvent, au milieu d'un paragraphe, il faut se livrer à une véritable enquête grammaticale pour savoir de qui et de quoi il parle.
Bien entendu, "Du côté de chez Swann" est un incontournable de mon point de vue, c'est finalement un magnifique roman d'amour.

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Proba conditionnelle - Deux stations météos

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