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#1 08-12-2019 16:56:47

martiflydoc
Membre
Inscription : 20-10-2019
Messages : 49

Fonction continue par morceaux borélienne

Bonjour,
Une fonction réelle continue est toujours borélienne (l'image réciproque d'un ouvert étant un ouvert). Mais une fonction seulement continue par morceaux l'est-elle aussi ? Il me semble que non mais quel contre-exemple précisément prendre ?
Merci

Hors ligne

#2 09-12-2019 08:42:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 373

Re : Fonction continue par morceaux borélienne

Bonjour,

  Si, une fonction continue par morceaux est toujours borélienne. On peut le démontrer à la main, en utilisant la définition d'une fonction continue par morceaux, et en étudiant ce que va être l'image d'un ouvert... On peut aussi utiliser le fait qu'une fonction continue par morceaux est la limite simple de fonctions en escalier.

F.

Hors ligne

#3 09-12-2019 08:57:38

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 281

Re : Fonction continue par morceaux borélienne

Bonjour,

Moi je pense le contraire ;)
Soit $f$ une fonction continue par morceau.
Prends un intervalle ouvert $]a;b[$.
Soit $g$ égale à $f$ sur $]a;b[$, et 0 partout ailleurs :
$g = f. \mathbb{1}_{]a;b[}$.
$f$ étant continue par morceaux il existe une subdivision en intervalle de $]a;b[$, $S_{1},...,S_{n}$ (les $S_{i}$ sont des intervalles) telle que :
$f$ est continue sur chacun des intervalle $S_{i}$ et $\cup S_{i} = ]a;b[$.
Je te laisse terminer le raisonnement ;)

PS : @Fred a répondu avant moi, mais bon vu que nos message sont plutôt différents je laisse celui-ci !

Dernière modification par Maenwe (09-12-2019 09:04:02)

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