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Zarathoustram

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Multiplicateurs de Lagrange

Bonjour à tous !

Je bloque sur un passage de la démonstration de la proposition suivante (je fais les présentations, les questions viennent après les images):

[tex]f: U \rightarrow \mathbb{R} \\
g: U \rightarrow \mathbb{R} \\
S = \{x \in U\, |\, g(x) = 0\}[/tex]

f admet un extremum local en A lié à S alors [tex]df_A = \lambda dg_A[/tex]

Qui est sensé avoir pour corollaire:
f admet un extremum local en A et les [tex]dg_{iA}[/tex] sont linéairement indépendants, alors [tex]df_A[/tex] est combinaison linéaire des [tex]dg_{iA}[/tex]. Les facteurs sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

Ça c'est pour la version cours (dont la démonstration est... on va dire mal recopiée). Notre prof nous a mis à disposition un poly dans lequel le théorème suivant est démontré:

Questions (surtout la 3):
1) Je n'ai pas de démo pour la seconde proposition de mon cours. Comment je fais le lien (peut-être auriez-vous besoin de la demo de mon cours) entre la première et seconde proposition de mon cours ? (pas le poly) Je suppose que la démo du poly le fait directement, mais je vous invite à regarder ma seconde question.
2) Les multiplicateurs de Lagrange concerne une fonction ayant un extrema local, ok, mais lié ou non ? [tex]f_{|X}[/tex] signifie bien f restreint à X, donc ça devrait être lié selon le poly, mais dans mon cours, il semblerait que non.

3) La plus importante: Comment je déduis des deux dernières phrases le résultat du théorème ?
J'ai une famille de n-k vecteurs, ayant k+1 composantes, engendrant un espace à k dimensions. Je me doute bien (c'est assez intuitif pour moi) que le nombre de composante détermine la dimension maximal de l'espace, que dans un espace de dim = k, avec de tels vecteurs, (sous réserve d'en avoir au moins k+1), je pourrais annuler une composante en changeant de base. Mais je malgré mes bidouillages, je n'arrive pas à passer explicitement à une combinaison linéaire comme dans le résultat. Voici comment je suis parti:

[tex]
df_a = \sum\limits_{i=1}^{n-k}\frac{df}{dx_{i}}(a)dx_i = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda_i\frac{df}{dy_{i}}(a)dx_i[/tex], avec [tex]\lambda_i[/tex], une somme de [tex]\frac{dh_j}{dx_i}[/tex]. Mais après ça...

Est-ce que je suis sensé pouvoir expliciter les multiplicateurs ?

En vous remerciant !

Dernière modification par Zarathoustram (08-12-2019 15:44:49)

Fred

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Re : Multiplicateurs de Lagrange

Bonjour,

Il manque effectivement dans ta deuxième proposition l'hypothèse que les extréma sont liés.
En fait, l'énoncé de ta deuxième proposition devrait être exactement le théorème du poly...

Pour ta troisième question, tu dois raisonner sur les lignes et non sur les colonnes. Ta matrice possède (k+1) lignes, elle est de rang $k$, et les $k$ dernières lignes sont indépendantes....

F.