Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Emna38500

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Dm de maths trigonométrie

Bonjour,
J'ai un dm de maths mais je beug a la question 4. On construit un polygone régulier a n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1.

Montrez que l'aire du triangle AOB est  :
Sin (pi/n ) × cos (pi/n)

Zarathoustram

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Re : Dm de maths trigonométrie

Bonsoir Emna,

Es-tu certaines de l'énoncé ? Ne serait-ce pas plutôt [tex]\frac{1}{2}sin(\frac{2\pi}{n})*cos(\frac{2\pi}{n})[/tex] ?
En supposant que AB soit un segment de ton polygone, O son centre.

Quoiqu'il en soit, pour un telle question (avec n), je te conseille de regarde ce qu'il se passe pour les premières valeurs de n. Un polygone avec un ou deux côtés n'a pas trop de sens, mais avec trois, ça devient intéressant. Essaie avec n = 4, 6, 8 et éventuellement 12 (tu trouveras facilement les valeurs de cosinus et sinus avec ces n là).

Si c'est l'énoncé ci-dessus, avant de faire des calculs, dessines pour ces valeurs de n (au moins pour 4, 8 et 12) dans un cercle trigonométrique (sur la moitié haute suffira, pour 12, tu divises juste le quart en trois).
Ensuite, représente les valeurs de tes cosinus et sinus sur le dessin. Ca te donnera un premier découpage de ton triangle.
Pour finir, continue de découper, voire plutôt dédoubler ton triangle pour te retrouver avec une figure "simple" ou apparaissent tes valeurs de sinus et cosinus.

Si vraiment tu galères: Dessines deux triangles identiques pour n = 12, mets un trait rouge pour le cosinus, bleu pour le sinus, découpe les deux triangles, et "joue" avec pour trouver une forme simple.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Dm de maths trigonométrie

Re,

Je pense aussi que [AB] est l'un des n côtés du polygone et O le centre du cercle dans lequel  il est inscrit.
AOB est donc un triangle isocèle de sommet principal O.
Dans ce triangle, on trace aussi la médiatrice de [AB], j'appelle H l'intersection avec [AB].
[OH) est donc la bissectrice de $\widehat{AOB}$
$\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{n}$ et donc $\widehat{AOH}=\dfrac{\pi}{n}$
Aire du triangle AOB $=\dfrac{AB\times OH}{2}=\dfrac{2AH\times OH}{2}=AH\times OH$
Reste à trouver OH et AH.
Trigo dans le triangle HAO rectangle en H
$\sin\widehat{HOA}=\dfrac{AH}{OA}\quad \iff\quad \sin \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{AH}{1}$
Soit $AH = \sin \dfrac{\pi}{n}$

$\cos\widehat{HOA}=\dfrac{OH}{OA}\quad \iff\quad \cos \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{OH}{1}$
Soit $OH = \cos \dfrac{\pi}{n}$

En conséquence l'aire du triangle AOB est :
$\sin \dfrac{\pi}{n}\times \cos \dfrac{\pi}{n}$

@+

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