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#1 03-12-2019 11:41:29

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 11

Équations différentielles avec courbes parametrées

Bonjour à tous !
Je suis en L2 maths/physique.

Je bloque sur un exo d’un contrôle que je refais concernant les courbes parametrées, agrémenté d’equations différentielles que voici:

(E): ty’’ + y’/2 + y = 0

4. Prouver que y est solution de (E) si et seulement si la fonction z définie par z(u) = y(u^2) pour tout u ∈ ℝ est solution de l’équation différentielle linéaire du seconde ordre à coefficients constants (E’) (et expliciter celle-ci).

Je n’en suis pas sûr, mais on devrait avoir:
(E’): ty’’’ + 3y’’/2 + y’ = 0
À coefficients constants et du seconde ordre, donc y’’’ = 0.
(E’): 3y’’/2 + y’ = 0

Donc z’(u) = 2y’(u^2)*u,
z’’(u) = 4y’’(u^2)*u^2 + 2y’(u^2)

(E’): 6y’’(u^2)*u^2 + y’(u^2)*(3+2u) = 0

Ce qui ne ressemble pas du tout à (E) (j’imagine que je dois rapporter ce dernier (E’) à la forme de (E) ?).

Précisions sur le sujet:
T=(γ’(t)), vecteur tangent à la courbe γ parametrée par longueur d’arc, qui est en fait un vecteur unitaire de la base de frenet, est solution de (E).
La courbure algébrique de γ est: t^(-1/2).


La question suivante est: 5.Trouver toutes les solutions de (E’) et en déduire celles de (E).

Cours: Les solutions sont e^(λt) pour λ racine du polynômes (3X^2)/2 + X (associé à (E’)).
Donc les solutions sont avec λ ∈ {0, -2/3}. Ça me donne bien les solutions de (E’), mais en prenant ensuite y ∈ {1, e^((-2t^(1/2))/3)} (avec e^(λt^(1/2)) pour solution de (E), j’arrive à :

(1/(6t^(1/2)) + 1/9 - 1/(6t^(1/2)) + 1)e^(...) = 0
Donc 10/9 = 0
(Ou avec z=1, y=1, 1=0)

Voilà, voilà, je remercie d’avance ceux qui me répondront.

Dernière modification par Zarathoustram (03-12-2019 11:47:33)

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#2 03-12-2019 22:24:58

Maenwe
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Messages : 182

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

Bonsoir,

Es tu sûr de ce que tu écris ? Prenons par exemple une des choses que tu as écrite : $y^{(3)}=0$ ce qui veut dire que y est en fait un polynôme de degré 2, ce qui n'est pas forcément faux mais vu que tu as raisonné par rapport à la correction, on voit que c'est un problème.
Autrement qu'en utilisant la correction (qui est fausse à moins que ce soit la fatigue qui me joue des tours), comment obtiendrais tu l'équation différentielle (E') ?

J'ai obtenu deux solutions pour (E') (l'équation (E') que j'ai n'a du coup pas le même polynôme associé), et du coup le système libre de solutions de (E) sur  $]0, +\infty[$ est différent de celui de la correction, et j'ai vérifié, le mien fonctionne et celui de la correction non, or d'après le théorème de Cauchy Lipschitz on sait que la dimension de l'espace des solutions de (E)  est (pour cette équation) de dimension 2, donc il ne peut y en avoir d'autres.

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#3 04-12-2019 09:08:23

Zarathoustram
Membre
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Messages : 11

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

Non, je ne suis pas sûr à partir du moment où je l´ai écrit. Par contre je n’ai pas raisonné sur la correction (j’en n’ai pas). Les points 4. et 5. sont un copier coller du sujet, et les précisions sont un résumé dès question précédentes que j’ai bien comprises.

Je te remercie de m’avoir répondu, également de ne pas m’avoir donné les réponses telles quelles. Mais pourrais tu au moins me donner la méthode ? Est-ce que (E’) est correctement déduit de (E) ? Si non, comment dois-je m’y prendre ? Tu me dis aussi que mon polynôme ne colle pas, pourrais tu me dire pourquoi ? J’ai bien deux racines à mon polynôme.

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#4 04-12-2019 10:04:49

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

Bonjour,
Ah d'accord autant pour moi, j'ai cru que quand tu marquais "cours" tu voulais dire "correction"...
Voici une piste pour trouver $(E')$ : Posons $z(u) = y(u^{2})$.
Supposons que $y$ soit solution de $(E)$.
Maintenant tu n'as plus "qu'à" trouver une équation différentielle que pourrait vérifier $z$ sachant que $y$ est solution de $(E)$. Pour la trouver commence par dériver $z$ et essaye de trouver un lien (ie. une équation) entre ses dérivés.

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#5 04-12-2019 22:08:26

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 11

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

J’ai trouvé, merci !

En dérivant z(u^(1/2)) et en l’injectant, j’ai

z’’/4 + z = 0 dont le polynôme est X^2/4 + 1
Racines: +- 2i, solutions complexes: y₀exp(+-2iu), solutions réelles: y₀cos(2u), y₀sin(2u),

et lorsque je reviens à y, je me retrouve avec y₀cos(2u^(1/2)), y₀sin(2u^(1/2)) et ça fonctionne !

Mais du coup, (E’) n’a rien à voir avec une « équation dérivée de l’équation différentielle (E) »...

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#6 05-12-2019 07:11:06

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 182

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

Bonjour,
"équation dérivée" peut vouloir dire deux choses, soit effectivement on dérive l'équation initiale comme tu l'entendais, soit on cherche une équation qui en "découle" : ce que tu as fait.

Hum... que veux tu dire par :

Zarathoustram a écrit :

je me retrouve avec y₀cos(2u^(1/2)), y₀sin(2u^(1/2))

Parce que pour moi ce que tu as écris reviens à composer y et cos : $y \circ cos(2u^{\frac{1}{2}}) = y(cos(2u^{\frac{1}{2}}))$.

Dernière modification par Maenwe (05-12-2019 07:15:55)

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#7 07-12-2019 16:19:23

Zarathoustram
Membre
Inscription : 01-12-2019
Messages : 11

Re : Équations différentielles avec courbes parametrées

C'est "y zéro", la condition initiale.

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