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#1 05-12-2019 15:39:54

Nelcar
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cercle trigo avec points (triangle)

Bonjour,
Voici mon exercice :
Placer le point N du cercle trigonométrique tel que l'angle ION= pi/6 radians, puis le point N', symétrique de N par rapport à la droite (OI).
a) quelle est la nature du triangle ONN' ? justifier.
b) calculer la valeur exacte de cos (pi/6)
AIDE : pour démontrer que la longueur de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est égale à a (racine3/2), on peut utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie.
c) En déduire la valeur exacte de sin (pi/6).

Voilà ce que j'ai fait :
je ne trouve pas la nature, pour moi c'est un angle plat  de 180°(210-30). le triangle O un autre point sur les abscisses et un autre sur les ordonnées là j'obtiens un triangle rectangle
b) la valeur exacte de cos (pi/6)= racine 3/2
NN' est pour moi l’hypoténuse soit 1²= le point inventé à N ² + le point inventé à N'² -dans le tableau on a cos (pi/6)=racine 3/2
mais à vrai dire je n'y comprend plus rien
c) valeur de sin (pi/6) dans le tableau on a 1/2

MERCI de m'aider car là je galère

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#2 05-12-2019 16:20:24

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Nelcar, Nelcar !

Quel dessin as-tu donc fait ?
Je te rappelle que (OI) est l'axe des abscisses et des cosinus...
Sur le cercle trigonométrique, tu places le point N tel que $\widehat{ION}=\dfrac{\pi}{6}$ (30° si tu préfères)
Cet angle a pour sommet O...
Et le point N n'est aucun cas placé sur (OJ) (ae des ordonnées ou des sinus).
Lorsque tu places le point N' symétrique de N par rapport à (OI), comment peux-tu trouver que $\widehat{NON'}$ est un angle plat ?

Dans ton cas cela voudrait voudrait que N,O,N' sont alignés verticalement et que N et N' sont sur [OJ], et que $\widehat{ION}=\dfrac{\pi}{2}$ ce qui est totalement faux...

Déjà O, centre du cercle, N et N' sur le cercle donc ON =ON' =1... Tu pouvais déjà dire qu'il était isocèle...
De plus d'après tes leçons de Collège, (OI) axe de symétrie pour [NN'] est la la médiatrice de [NN']...
J'appelle H  l'intersection de (OI) et [NN'].
Quelle est nature du triangle NOH ?
L'énoncé te suggère d'utiliser Pythagore (dans le tr. NOH) : tu as déjà ON =1, tu vas trouver - avec ce qui précède, HN et tu vas en déduire
que  $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=OH^2= \dfrac 3 2$

Quant au sinus, il n'y a pas si longtemps tu es venue avec un exercice où tu devais utiliser la relation fondamentale $\sin^2 x+\cos^2 x=1$...
Cela dit, même si je suis après sûr que c'est cela qu'attend ton prof, rien ne t'empêche de le calculer avec la trigo dans le triangle ONH puisque tu as la mesure des 3 côté et comme l'hypoténuse [ON] a pour longueur 1, il n'y a aucun calcul à faire...

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Dernière modification par yoshi (06-12-2019 06:09:10)


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#3 05-12-2019 16:48:03

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonsoir Yoshi,
En effet je n'ai pas tracé correctement la symétrie. Je ferai.
Par contre je ne comprend pas pourquoi tu mais un H
je ne vois pas de H dans le cercle j'ai IOJ j'ai mis le point N à pi/6 et en dessous le point N' de 30°
Merci avant de poursuivre

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#4 05-12-2019 17:25:15

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

Désolé...
Je vois qu'un morceau a sauté : j'y précisais que j'appelais H l'intersection de (OI) avec [NN']. J'étais gêné par l'absence de nommage de ce point d'intersection.
Voilà qui va mieux te permettre de suivre ce que je t'ai raconté...

@+


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#5 05-12-2019 20:21:48

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,
pour a)
O, centre du cercle, N et N' sur le cercle donc ON =ON' =1. Donc on a le triangle ONN"  isocèle car les deux côtés sont égaux.
De plus  (OI) axe de symétrie pour [NN'] est la la médiatrice de [NN']...
Or, I est un point de cette médiatrice. Conclusion pour IN et IN' ? IN=IN'

b) ON²=OH²+HN²
soit 1²= OH²+HN²   
cos²(pi/6)=OH²= 3/2 donc OH=racine3/2  (mais comment as-tu trouvé 3/2)?

c) (sin(a)²)+(cos(a)²)=1

sin(a)² + racine3/2²=1
sin(a)²=1-racine3/2²=0,25
donc sin(a)= racine 0,25=0,50 ou 1/2

MERCI

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#6 06-12-2019 06:57:06

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

A vouloir travailler sans dessin, je me suis un peu mélangé les crayons...
Je te dois - encore -  des excuses !

Bon, reprenons.
Déjà O, centre du cercle, N et N' sur le cercle donc ON =ON' =1...
Tu pouvais déjà dire qu'il était isocèle de sommet principal O...T
Mais tu n'as rien dit de plus sur le triangle NON'.
Si tu t'arrêtes à triangle isocèle, c'est normal que tu ne comprennes pas le $\dfrac 3 2$.
Alors, je fais autrement (pour la nature du triangle) et je te guide :
Nature du triangle NON' ?
J'appelle H l'intersection de (OI) et [NN'].
Quelle est la nature du triangle ONH ?
Sachant que l'angle $\widehat{HON}=\dfrac{\pi}{6}$, combien mesure l'angle  $\widehat{ONH}$ ?
Le triangle NON' est isocèle donc les angles à la base  $\widehat{ONH} \text{  et } \widehat{ON'H}$ sont ...
On a donc $\widehat{ONH}.?. \widehat{ON'H}=\dfrac{?}{?}$

Combien mesure alors le 3e angle $\widehat{NON'}$ ?
Le triangle NON' qui a ses 3 angles .?. est en fait un triangle ...?...

Calcul du Cos
Puisque le triangle NON' est un triangle ..?... ses 3 côtés sont .?., donc NN'=.?.
On sait que (OI) est la médiatrice de [NN'], donc par définition le point H est le .?. du segment [NN'], donc HN = .?.
Maintenant tu peux utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle OHN pour calculer OH...

(Au cas où, quelques justifications...
   * Pourquoi OH ?
           Parce que $OH = \cos \widehat{HON}$
   *   Pourquoi a-t-on $OH = \cos \widehat{HON}$ ?
           Parce que $\cos \widehat{HON}=\dfrac{OH}{ON}=\dfrac{OH}{1}= OH$ )

@+


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#7 06-12-2019 13:13:00

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

Voyage dans la Géométrie de Collège...
A partir du moment où tu sais
- que (OI) est la médiatrice de [NN']
- que NON' est un triangle isocèle de sommet principal O
un théorème de 4e (si on l'a appris) permet de conclure assez vite :
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est en même temps hauteur, médiane relatives à la base et bissectrice de l'angle au sommet.

Et donc $\widehat{NON'}=2\widehat{NOH}= 2\times \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$
D'où dans le triangle NON' :
$\widehat{ONN'}=\widehat{ON'N}=\dfrac{\pi-\dfrac{\pi}{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$
Ainsi les 3 angles du triangle NON' sont égaux, c'est donc  un triangle ...?...

@+


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#8 06-12-2019 17:38:17

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonsoir,
je suis complétement perdu avec ton H (j'ai bien mis H milieu de NN') mais je ne comprends plus rien

voilà ce que j'ai fait pour l'instant après ça coince :
a) on sait que ON=ON'=1 donc comme on a deux côtés égaux c'est un triangle isocèle (triangle isocèle NON"). De plus il a un axe de symétrie (OI) pour [NN'] cette droite OH (j'ai appelé H l'intersection de OI avec [NN'] est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice. On peut donc dire que cette médiane qui passe par le sommet et passe par le milieu de [NN'] ce qui donne IN=IN'

b) d'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6°
OH²+HN²=1²

MAIS là je ne sais plus que faire ?

et autre question comment trouver la distance NN' ?

MERCI

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#9 06-12-2019 18:20:31

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

RE,

OH²+HN²=1² oui... Mais hélas, tant que tu ne connais pas NN', tu es coincée...
Donc on en arrive à ta question : comment calculer NN' ?
Et bien, tant que tu n'auras pas identifié correctement la nature du triangle NON', tu n'avanceras pas...

Au passage,

cette droite OH (j'ai appelé H l'intersection de OI avec [NN'] est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice. On peut donc dire que cette médiane qui passe par le sommet et passe par le milieu de [NN'] ce qui donne IN=IN'

utiliser ce théorème pour conclure que H est le milieu de [NN'], c'est totalement inutile...
Axe de symétrie = médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par défintion, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (classe de 6e).

Moi, et tu lis souvent en diagonale, j'ai utilisé ce théorème pour conclure que [OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{NON'}$...
Tu sembles n'avoir pas compris...
Je prends le risque d'enfoncer une porte ouverte, en détaillant tout (lis et regarde ton dessin) :
Définition : on appelle bissectrice d'un angle, la demi-droite issue du sommet de cet angle et qui le partage en deux angles égaux.
Donc $\widehat{N'OH}=\widehat{NOH}=\dfrac{\pi}{6}$
D'où $\widehat{NON'}=\widehat{NOH}+\widehat{N'OH}=\dfrac{\pi}{6}\times 2=\dfrac{\pi}{3}$

Ensuite, la somme des angles d'un triangle vaut $\pi$
Donc, pour la somme des 2 angles $\widehat{ONH}+\widehat{ON'H}$, il reste $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$
Mais ces deux angles sont égaux (tr. isocèle), d'où :
$\widehat{ONH}=\widehat{ON'H}=\dfrac{{2\pi}{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$
Le triangle NON' a donc ses 3 angles égaux (à  $\dfrac{\pi}{3}$).
C'est un triangle équilatéral...
Et les 3 côtés d'un triangle équilatéral étant égaux, on a  NN'= ON = ON' = 1
Or, H étant le milieu de [NN'],  $HN=\dfrac 1 2$

Voilà le pourquoi de la question sur la nature du triangle NON'...

@+


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#10 06-12-2019 19:05:36

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonsoir,
je viens de regarder avec les angles. Je me suis rendue compte que l'angle N dans ONH est de 60 ° (l'angle O est 180/6= 30°)
dans l'autre triangle HON' je retrouve en N' 60 ° aussi. Donc le triangle NON" est un triangle équilatéral car il a les 3 angles identiques à 60 °
(les trois côtés sont donc identiques)
je venais de le trouver avant ton message.  est-ce suffisant de noter ce que j'ai fait au-dessus
pour le b) d'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6)
OH²+HN²=1²
OH²+(1/2)²=1²
OH²+0,25 =0
OH²=0,75=3/2
OH= racine3/2 donc cos(pi/6)=racine3/2
pour le c) on a vu que ON=ON'=NN'
(cos(pi/6)²)+(sin(pi/6)²=1
0,758 + (sin(pi/6)²=1
(sin(pi/6)²=0,25
sin(pi/6)=0,50=1/2

MERCI de me dire si c'est bon

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#11 06-12-2019 19:31:20

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

OH²+(1/2)² =1²
C'est si affolant que ça d'écrire ensuite
OH²+1/4=1
OH² =3/4
$OH=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 4}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$
au lieu d'utiliser des décimaux ?
Ça t'aurait peut-être évité d'écrire :
OH²+0,25 =0
puis d'enchaîner avec :
OH²=0,75=3/2 non, 3/4...
Quant à :
OH= racine3/2
à la place de ton prof, je refuse ce résultat, j'aurais dit : exact par hasard !
Pourquoi ?
A la ligne précédente, tu écris :
OH² = 3/2
Donc, logiquement
$OH =\sqrt{\dfrac 3 2}$, soit $OH =\dfrac{ \sqrt 3}{\sqrt 2}=\dfrac{ \sqrt 6}{2}$...
Cela dit,
pour $\widehat{NON'}=\dfrac{\pi}{3}$, ça vaudra quelque chose si tu justifies...

Pour le c)
Je crois que tu aimes te compliquer la vie...
Je t'avais signalé que oui, tu peux faire comme ça...
Mais je t'avais aussi suggéré :
Dans le triangle NOH rectangle en H :
$\sin \widehat{NOH}=\dfrac{NH}{ON}$

D'où $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\dfrac 1 2}{1}=\dfrac 1 2$

Après, c'est comme tu veux, le choix t'appartient.

@+


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#12 07-12-2019 10:17:01

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonjour Yoshi,
voilà avant de recopier cet exercice voilà ce que j'ai mis (merci de me confirmer si c'est ok)

a)On sait que ON=ON'=1 donc deux côtés égaux
je calcule l'angle NOH qui est de 180/6=30 ° de même que pour l'angle HON" soit l'angle NON" 30+30=60°
l'axe de symétrie  (OI) pour [NN'] cette droite OH (j'ai appelé H l'intersection de OI avec [NN'] est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice. On peut donc dire que cette médiane qui passe par le sommet et passe par le milieu de [NN'] ce qui donne IN=IN'
comme on se retrouve avec un angle de 90 % (rectangle en H de part et d'autre) . Je calcule l'angle en N soit 180-90-30=60° et l'angle en N' est identique
comme on se retrouve avec 3 angles de 60% dans le triangle NON" on peut dire que ce triangle est équilatéral (3 angles de 60 ° donc les 3 côtés égaux)

b)'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6)
OH²+HN²=1²
OH²+(1/2)²=1²
OH²+1/4 =1
OH²=3/4=3/2
OH= racine(3/4)= racine3/racine4= racine 3/2   donc cos(pi/6)=racine3/2

c) (sin(pi/6)²)+(cos(pi/6)²)=1

sin(pi/6)² + 3/4=1
sin(pi/6)²=1-3/4=1/4
donc sin(pi/6)= racine 1/4= 1/2

on pouvait faire aussi :
le sinus dans un triangle rectangle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l’hypoténuse
sin de l'angle NOH = OH/ON
sin (pi/6) = (1/2//1=1/2

Merci de me dire ce que tu en penses avant de recopier

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#13 07-12-2019 12:53:57

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

OH²=3/4=3/2 Non
Tu n'as pas besoin de moi pour savoir que c'est une sottise;
Écrire 3/4 = 3/2 équivaut à écrire que les produits en croix suivants sont égaux : 3 x 2  et 4 x 3, ru vois bien que ce n'est pas vrai...
Donc, limite-toi à OH² =3/4.
Puis enchaine avec OH= racine(3/4)= racine3/racine4= racine 3/2

En ce qui concerne ta justification

Nelcar a écrit :

On sait que ON=ON'=1 donc deux côtés égaux
je calcule l'angle NOH qui est de 180/6=30 ° de même que pour l'angle HON' soit l'angle NON' 30+30=60°
l'axe de symétrie  (OI) pour [NN'] cette droite OH (j'ai appelé H l'intersection de OI avec [NN'] est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice. On peut donc dire que cette médiane qui passe par le sommet et passe par le milieu de [NN'] ce qui donne IN=IN'

Donc, tu ne lis pas ce que j'ae t'écris...
Je t'en fais donc un copier/coller :

Yoshi a écrit :

Et bien, tant que tu n'auras pas identifié correctement la nature du triangle NON', tu n'avanceras pas...

Au passage,

   

Nelcar a écrit :

cette droite OH (j'ai appelé H l'intersection de OI avec [NN'] est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice. On peut donc dire que cette médiane qui passe par le sommet et passe par le milieu de [NN'] ce qui donne IN=IN'

utiliser ce théorème pour conclure que H est le milieu de [NN'], c'est totalement inutile...
Axe de symétrie = médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par définition, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (classe de 6e).

En bleu, ce que tu as répété...
En rouge ce que je t'avais répondu...

Maintenant, encore un oubli fâcheux , je t'avais écris :
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est en même temps hauteur, médiane relatives à la base et bissectrice de l'angle au sommet.
Et que vois-je maintenant ? Tu dis qu'il y a 2 côtés égaux... Point. Tu ne ne conclus pas que triangle est isocèle.
Le théorème appliqué commence par : Dans un triangle isocèle...
Si tu ne le dis pas, il est inutilisable...
Alors tu vas dire : bin c'est la même chose triangle avec 2 côtés égaux ,<=> triangle isocèle...
Oui, mais il y a encore 2 façons de montrer qu'un triangle isocèle :
1. 2 angles égaux
2. La réciproque du théorème : Si dans un triangle... etc.,  alors...
Cela dit le théorème ne parle ni de côtés égaux, ni d'angle égaux, il dit : dans un triangle isocèle...
Et je répète que ce théorème n'est pas fait pour montrer que H est milieu de [NN']...
Si tu sais que (OH) est médiatrice de [NN'] tu sais automatiquement que H est milieu... ca y est tu as enfin lu ?

Je te redis de manière synthétique :
triangle isocèle ==> la médiatrice la base est aussi la bissectrice de l'angle au sommet.
C'est ce qui te permet d'écrire que $\widehat{N'OH}=\widehat{NOH}=\dfrac{\pi}{6}$ et que leur somme, l'angle $\widehat{NON'}$, vaut, elle, $\dfrac{\pi}{3}$ et de déduire les 3 angles égaux, donc triangle équilatéral, donc 3 côtés égaux donc NN'= 1 donc HM=1/2...

Ensuite d'où sors-tu cette division par 6 ? Il va falloir justifier ça...

---------------------------------------------------------------------------------------------------
Autre démonstration que $\widehat{N'OH}=\widehat{NOH}=\dfrac{\pi}{6}$

Dans une symétrie axiale, tous les points de l'axe de symétrie sont dit invariants : ils sont leur propre symétrique...
Donc, dans la symétrie d'axe (OI)
$N \mapsto N'$ |
$O \mapsto O$   |>  Donc l'angle $\widehat{NOH}$ a pour symétrique l'angle $\widehat{N'OH}$
$H \mapsto H$  |

Or, la symétrie conserve les angles, donc $\widehat{N'OH}=\widehat{NOH}=\dfrac{\pi}{6}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------
Autre démonstration que $\widehat{NON'}=\dfrac{\pi}{3}$
Dans le triangle NOH rectangle en H, l'angle  $\widehat{ONH}$ mesure $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$
(Règle de 5e : les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires _ i.e : leur somme vaut $\dfrac{\pi}{2}$)
Et comme $\widehat{ON'H}=\widehat{ONH}$, alors $\widehat{ON'H}=\dfrac{\pi}{3}$

La somme des angles d'un triangle (ici, NON') valant $\pi$ radians, il reste pour l'angle  $\widehat{NON'}$ : $\widehat{NON'}=\pi- \dfrac{\pi}{3}\times 2 =\dfrac{\pi}{3}$

donc 3 angles égaux ==> triangle équilatéral ==> 3 côtés égaux ==> NN'=1 ==> NH = 1/2...

Tu as de quoi faire ton marché... ^_^

@+


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#14 07-12-2019 14:13:53

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,
donc pour la question a)
on voit que ON=ON"=1 donc dans le triangle ONN' on a deux côtés égaux donc c'est un triangle isocèle. Si un triangle à 2 côtés égaux c'est un triangle isocèle et les 2 angles de la base sont de même mesure. On a tracé la symétrie de N en N' donc on peut dire que  l'axe de symétrie = médiatrice de médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par définition, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (j'ai noté le point d'intersection H)
on a donc HN=HN'
on a l'angle NOH=N'OH = pi/6
si je fais la somme , l'angle NON' vaut pi/3 soit 180 °/3=60 ° pi=180°)
et comme dans ce triangle isocèle on a les 2 angles de base identiques donc 180 - 60 /2= 60°
DONC on a donc 3 angles identiques de 60 ° donc c'est un triangle équilatéral donc les 3 côtés sont égaux (NN'=1, ON=1 et ON'=1)

b)'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6)
OH²+HN²=1²
OH²+(1/2)²=1²
OH²+1/4 =1
OH²=3/4
OH= racine(3/4)= racine3/racine4= racine 3/2   donc cos(pi/6)=racine3/2

c) (sin(pi/6)²)+(cos(pi/6)²)=1

sin(pi/6)² + 3/4=1
sin(pi/6)²=1-3/4=1/4
donc sin(pi/6)= racine 1/4= 1/2

on pouvait faire aussi :
le sinus dans un triangle rectangle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l’hypoténuse
sin de l'angle NOH = OH/ON
sin (pi/6) = (1/2//1=1/2

Merci de me dire ce que tu en penses avant de recopie

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#15 07-12-2019 16:40:26

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

on pouvait faire aussi :
le sinus dans un triangle rectangle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l’hypoténuse
sin de l'angle NOH = OH/ON
sin (pi/6) = (1/2//1=1/2

Oui, bien sûr c'est que je t'ai signalé en fin de post #2  et au post #11.
moi, je trouve cette méthode plus élégante parce que sans calcul...

Pour le a)

(*) on voit que ON=ON"=1 donc  (**)dans le triangle ONN' on a deux côtés égaux donc c'est un triangle isocèle. Si un triangle à 2 côtés égaux c'est un triangle isocèle et les 2 angles de la base sont de même mesure. On a tracé (***) la symétrie  de N en N' donc on peut dire que  (****) l'axe de symétrie = médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par définition, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (j'ai noté le point d'intersection H)
on a donc HN=HN' (*****)
on a l'angle NOH=N'OH = pi/6

(*) on voit que : tu n'as le droit de faire une démonstration en lisant ton dessin sauf :
     - si l'énoncé te dit le faire,
     - si le dessin est fourni codé.
    Là, l'énoncé te dit :
     

Placer le point N du cercle trigonométrique tel que l'angle ION= pi/6 radians,
     puis le point N', symétrique de N par rapport à la droite (OI).

     Je m'apprêtais à te suggérer de dire : on sait que N et n' sont sur le cercle de trigonométrique de centre O, donc ON = ON'=rayon = 1.
     Et d'un seul coup, en écrivant cela, je me suis rendu compte que je n'avais pas fait attention à cela :
     l'énoncé ne dit nulle part que N' est sur le cercle (ou alors cela manque dans l'énoncé que tu as reproduit)...
     Là du coup, c'est gênant....]
     Si vraiment, ça ne figure pas dans l'énoncé alors on ne peut pas dire ON = ON' = rayon : "on ne sait pas" que N' est sur le cercle...
     Donc du coup, il vaut mieux utiliser la symétrie, pas d'autre choix...
     Comme ceci :
      On sait que N est sur le cercle trigonométrique) donc ON = rayon = 1
      On sait que N' est le symétrique de N par rapport à (OI)
      O est sur l'axe de symétrique donc le point O est son propre symétrique.
      Donc le symétrique du segment [ON] par rapport à (OI) est le segment [ON'].
      Or, la symétrie conserve les longueurs, donc ON'=ON =1

(**) Comme le triangle NON' a deux côtés égaux, alors c'est un triangle isocèle.
       Puisque le triangle NON' est un triangle isocèle, alors ses angles à la base sont égaux, donc $\widehat{ONN'}=\widehat {ON'N}$
       Et non :
       donc dans le triangle ONN' on a deux côtés égaux donc c'est un triangle isocèle. Si un triangle à 2 côtés égaux c'est un triangle isocèle
       Non seulement tu te répètes, mais écrire :
       dans le triangle ONN' on a deux côtés égaux donc c'est un triangle isocèle. Si un triangle à 2 côtés égaux c'est un triangle isocèle
       a un effet fâcheux que je résume
       le triangle NON' a deux côtés égaux donc il est isocèle,
       le triangle NON' est isocèle donc il a deux côtés égaux.
       C'est le coup du chien qui se mord la queue : tu peux tourner en rond longtemps comme ça...
       Je raie ce qui est inutile et sujet à interprétation néfaste pour toi :
        dans le triangle ONN' on a deux côtés égaux donc c'est un triangle isocèle.
        Si un triangle à 2 côtés égaux c'est
        Dans un triangle isocèle, et les 2 angles de la base sont de même mesure.
        Je rajoute le Dans pour que la phrase ne soit pas bancale puisque j'ai rayé des morceaux de phrase

(***) Tu ne traces pas une symétrie, tu l'utilises. Par contre tu traces le symétrique N' de N par rapport à (OI)...

(****) N'écris pas = dans une phrase en dehors du brouillon, tu vas te faire eng...r
           Ecris par ex. : Puisque (OI) est l'axe de symétrie du segment [NN'] alors, il en est la médiatrice...
           Ou encore: puisque N' est le symétrique de N par rapport à (OI), alors (OI) est la médiatrice de [NN']. 
           Autant reprendre les mots du cours, non ?

(*****) on a l'angle NOH=N'OH = pi/6
             Où as-tu prouvé dans tout ce qui a précédé que  l'angle NOH=N'OH ? Nulle part ! A faire...

Et comme dans ce triangle isocèle on a les 2 angles de base identiques donc 180 - 60 /2= 60°

Je sais bien que dans ta tête c'est juste, mais ce que tu écris est faux...
La règle de priorité des opérations dit :notamment :
en l'absence de toute parenthèse, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
Par conséquent,  ce que tu as écrit se calcule ainsi :
180-60/2 =180 - 30 = 150... (vérifie donc avec ta calculatrice, même celle pour Collège ou, la calculatrice Windows mise en Affichage Scientifique)
Tu dois mettre des parenthèses pour que la priorité soit à la soustraction : (180-60)/2. Là oui, on obtient 60...

Je sais, je suis pénible... c'est pour ton bien !

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#16 07-12-2019 17:15:51

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,
je commence à me perdre dans tout ça.

voici mon dernier projet :
donc pour la question a)
N est sur le cercle trigonométrique donc ON = rayon = 1
      On sait que N' est le symétrique de N par rapport à (OI)
      O est sur l'axe de symétrique donc le point O est son propre symétrique.
      Donc le symétrique du segment [ON] par rapport à (OI) est le segment [ON'].
      Or, la symétrie conserve les longueurs, donc ON'=ON =1
donc comme le triangle NON' a deux côtés égaux, alors c'est un triangle isocèle.
Puisque le triangle NON' est un triangle isocèle, alors ses angles à la base sont égaux, donc l'angle ONN= l'angle ON'N
on a tracé le symétrique N' de N par rapport à (OI) donc on peut dire que  l'axe de symétrie = médiatrice de médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par définition, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (j'ai noté le point d'intersection H)
on a donc HN=HN'
comme dans ce triangle isocèle on a les 2 angles de base identiques donc (180-60)/2=60°
et l'angle NON' est de 30 x 2=60 °   (pi/6 = 180(qui est la valeur de pi)/6= 30 °
On a donc ici 3 angles identiques de 60 ° donc c'est un triangle équilatéral donc les 3 côtés sont égaux (NN'=1, ON=1 et ON'=1)

b)'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6)
OH²+HN²=1²
OH²+(1/2)²=1²
OH²+1/4 =1
OH²=3/4
OH= racine(3/4)= racine3/racine4= racine 3/2   donc cos(pi/6)=racine3/2

c) (sin(pi/6)²)+(cos(pi/6)²)=1

sin(pi/6)² + 3/4=1
sin(pi/6)²=1-3/4=1/4
donc sin(pi/6)= racine 1/4= 1/2

on pouvait faire aussi :
le sinus dans un triangle rectangle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l’hypoténuse
sin de l'angle NOH = OH/ON
sin (pi/6) = (1/2//1=1/2

Merci de me dire si cette fois ça va.

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#17 07-12-2019 17:38:53

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

B'soir,

Oui.

Pour le c) ne donne qu'une méthode ! Choisis.
On ne donne qu'une méthode, pourquoi ?.
C'est dangereux d'en donner deux : si jamais il y une erreur sans l'une d'entre elles, tout prof ignorera la méthode sans faute pour ne garder la méthode incorrecte...
Je ne trouve pas perdue.

J'espère que tu comprends la façon d'utiliser les propriétés de la symétrie ?
La réponse à cette question est importante...

Si j'avais montré comment prouver que N' est sur le cercle, cela aurait été un peu plus délicat... mais comme après tout on n'a pas besoin de le savoir, alors j'ai passé ça sous silence :-;
Il aurait fallu aussi utiliser les propriétés de la Symétrie...

@+


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#18 07-12-2019 18:54:15

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,
ok je ne donnerai qu'une méthode pour le c)
faut-il que je rajoute pour le a) les 2 triangles sont superposables par pliement. Ils ont les mêmes longueurs et les mêmes angles.

MERCI BEAUCOUP

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#19 07-12-2019 19:52:13

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

Non.
Je n'en vois pas l'intérêt..

Sinon on est reparti pour un tour... Si tu veux faire ça (On vous apprend cette expression maintenant ? Jamais entendue), il faut montrer que les 2 triangles NOH et N'OH sont symétriques par rapport à (OI).
1. Rappeler que (OI) étant l'axe de symétrie, O a pour symétrique lui-même et H aussi.
2. Rappeler que l'énoncé dit que N a pour symétrique N'
3. Ecrire que dans la symétrie d'axe (OI) :
$N \mapsto N'$ |
$O \mapsto O$   |>  Donc le triangle NOH a pour symétrique le triangle N'OH
$H \mapsto H$  |

Et donc comme la symétrie axiale conserve les angles et les longueurs, les angles et côtés correspondants de chaque triangle sont égaux...

Et ça avancerait à quoi de parler de pliement ?

@+

Dernière modification par yoshi (08-12-2019 10:32:57)


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#20 08-12-2019 09:31:25

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonjour Yoshi,
donc pour le a)
je met uniquement :
N est sur le cercle trigonométrique donc ON = rayon = 1
      On sait que N' est le symétrique de N par rapport à (OI)
      O est sur l'axe de symétrique donc le point O est son propre symétrique.
      Donc le symétrique du segment [ON] par rapport à (OI) est le segment [ON'].
      Or, la symétrie conserve les longueurs, donc ON'=ON =1
donc comme le triangle NON' a deux côtés égaux, alors c'est un triangle isocèle.
Puisque le triangle NON' est un triangle isocèle, alors ses angles à la base sont égaux, donc l'angle ONN= l'angle ON'N
on a tracé le symétrique N' de N par rapport à (OI) donc on peut dire que  l'axe de symétrie = médiatrice de médiatrice de [NN'] et la médiatrice, par définition, coupe le segment perpendiculairement en son milieu (j'ai noté le point d'intersection H)
on a donc HN=HN'
comme dans ce triangle isocèle on a les 2 angles de base identiques donc (180-60)/2=60°
et l'angle NON' est de 30 x 2=60 °   (pi/6 = 180(qui est la valeur de pi)/6= 30 °
On a donc ici 3 angles identiques de 60 ° donc c'est un triangle équilatéral donc les 3 côtés sont égaux (NN'=1, ON=1 et ON'=1)

et c'est bon comme cela pour toi ?

MERCI

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#21 08-12-2019 11:58:01

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonjour,


Ce que tu proposes est bon.
Si c'est trop bien fait, ça va paraître louche à ton prof : s'il t'envoie au tableau expliquer pourquoi tu dis ceci ou cela, sauras-tu ?
Bon, j'ai cherché, et si pliement existe bien français (pas très usité quand même), par contre j'ai vérifié si, en Maths en Lycée, on parlait maintenant de "triangles superposables par pliement" : pas trouvé de trace...
Je vois bien ce que ça veut dire :
deux figures symétriques par rapport à une droite sont superposables par pliage (ou pliement) le long de l'axe de symétrie...
Mais il faut savoir que ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite en question...

Donc, une fois que l'on sait, ici que les deux triangles ONH et ON'H sont symétriques par rapport à (OI), ça sert à quoi de rajouter que ces deux figures sont superposables par pliement ?
Je répète ma question :
dans quelles circonstances as-tu entendu cette expression ?

----------------------------------------------------------

On peut raccourcir légèrement la démonstration (puisque l'idée t'es plus ou moins venue) sans risque (c'est pourquoi, j'ai hésité) que tu viennes dire : Je suis perdue !
En informatique, on dirait qu'on va "factoriser", là, je dirais qu'on va faire du 3 en 1.
Puisque tu tiens à raffiner (je t'en félicite, cet état d'esprit permet de progresser), donc, voilà...

Nature de NON'
On appelle H le point d'intersection de (OI) avec [NN']
On sait que N' est le symétrique de N par rapport à (OI).
Or, O et H étant deux points de (OI), dans la symétrie d'axe (OI), O et H sont leurs propres symétriques.

(N-B : la formulation mathématique courante est de dire que les points O et H sont invariants. As-tu déjà entendu ou lu ce mot ? $\mapsto$ signifie  "a pour image" (ici, plus précisément : "a pour symétrique")

Dans cette symétrie :
$N\mapsto N'$ |
$O\mapsto O$  |> Donc le triangle NOH a pour symétrique le triangle N'OH.
$H\mapsto H$  |

Et comme la symétrie (et non la symétrique comme tu l'écris)  axiale conserve les angles et les longueurs, les angles et côtés correspondants de chaque triangle sont égaux...
On a alors :
HN = HN'  (H est donc le milieu de [NN'])
ON = ON' = 1
$\widehat{ONH}=\widehat{ON'H}$
$\widehat{NOH}=\widehat{N'OH}=\dfrac{\pi}{6}$

(Maintenant, tu pioches selon tes besoins. Il n'y a même pas besoin de parler de triangle isocèle : maintenant je peux te le dire...)

Puisque $\widehat{NOH}=\widehat{N'OH}=\dfrac{\pi}{6}$, alors $\widehat{NON'}=\widehat{NOH}+\widehat{N'OH}=\dfrac{\pi}{3}$
Mais dans le triangle NON' ;
$\widehat{ONH}+\widehat{ON'H}=\pi -\widehat{NON'}=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$
Et comme les 2 angles $\widehat{ONH}$ et $\widehat{ON'H}$ sont égaux  alors $\widehat{ONH}=\widehat{ON'H}=\dfrac{\;\dfrac{2\pi}{3}\;}{2}=\dfrac{\pi}{3}$.
Les 3 angles du triangles NON' étant égaux, c'est un triangle équilatéral.

Calcul de $\cos\dfrac {\pi}{6}$
Le triangle NON' étant équilatéral, ses 3 côtés sont donc égaux : NN' = ON = ON' = 1
Et comme H est le milieu de [NN'] alors HN=1/2
Comme (OI), axe de symétrie  pour le segment [NN'] est par définition la médiatrice de [NN'], elle lui est donc perpendiculaire en leur point d'intersection H.
Le triangle OHN est donc rectangle en H.
Calcul de OH avec Pythagore.
Suite inchangée...
---------------------------------------------------------------------------
En italique ce sont des commentaires, ils ne doivent pas figurer dans ton devoir.

A toi de voir ce qui te  paraît le plus clair pour toi...

@+


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#22 08-12-2019 15:29:04

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,
donc je peux faire ceci dans mon devoir :
Nature de NON'
On appelle H le point d'intersection de (OI) avec [NN']
On sait que N' est le symétrique de N par rapport à (OI).
Or, O et H étant deux points de (OI), dans la symétrie d'axe (OI), O et H sont leurs propres symétriques.
ans cette symétrie :
N↦N′ |
O↦O  |> Donc le triangle NOH a pour symétrique le triangle N'OH.
H↦H  |

Et comme la symétrie  axiale conserve les angles et les longueurs, les angles et côtés correspondants de chaque triangle sont égaux...
On a alors :
HN = HN'  (H est donc le milieu de [NN'])
ON = ON' = 1
ˆONH=ˆON′H

ˆNOH=ˆN′OH=pi/6
Puisque ˆNOH=ˆN′OH=pi/6, alors ˆNON′=ˆNOH+ˆN′OH=pi/3
Mais dans le triangle NON' ;
ˆONH+ˆON′H=pi−ˆNON′=pi−pi/3=2pi/3
Et comme les 2 angles ˆONH et ˆON′H sont égaux  alors ˆONH=ˆON′H=(2pi/3)/2=pi/3

.
Les 3 angles du triangles NON' étant égaux, c'est un triangle équilatéral.

Calcul de cosπ6

Le triangle NON' étant équilatéral, ses 3 côtés sont donc égaux : NN' = ON = ON' = 1
Et comme H est le milieu de [NN'] alors HN=1/2
Comme (OI), axe de symétrie  pour le segment [NN'] est par définition la médiatrice de [NN'], elle lui est donc perpendiculaire en leur point d'intersection H.
Le triangle OHN est donc rectangle en H.
Calcul de OH avecd'après le théorème de Pythagore OH²+HN²=ON²
par définition OH= cos(pi/6)
OH²+HN²=1²
OH²+(1/2)²=1²
OH²+1/4 =1
OH²=3/4
OH= racine(3/4)= racine3/racine4= racine 3/2   donc cos(pi/6)=racine3/2

c) (sin(pi/6)²)+(cos(pi/6)²)=1

sin(pi/6)² + 3/4=1
sin(pi/6)²=1-3/4=1/4
donc sin(pi/6)= racine 1/4= 1/2

UN GRAND MERCI (puis-je faire ceci ?)

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#23 08-12-2019 17:11:53

yoshi
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Bonsoir,

Oui, sinon
- je te l'aurais dit
- je ne te l'aurais pas proposé...

Encore faut-il
- que ça te convienne
- que tu te sentes capable d'expliquer le tout de A à Z, sinon tu ne serais qu'un bon perroquet...^_^

Ça m'est arrivé de douter qu'un élève ait trouvé tout seul : tant qu'il pouvait me montrer qu'il avait bien compris ce qu'il avait écrit, et donc qu'il était susceptible de pouvoir s'en resservir à l'occasion, ça ne m'avait jamais gêné.

Par contre, celui qui n'était capable que de réciter ce qu'il avait écrit,  prouvant par là qu'il n'avait fait que du copier/coller, pas de cadeau...
Qui procède ainsi ne se rend pas service, il n'apprend rien, il ne progresse pas...
Rabelais disait déjà :
<< Science sans conscience n'est que ruine de l'âme >>
------------------------------------------------------------------------------------------------
J'avais procédé en plusieurs étapes bien marquées, pour que tu puisses suivre une démarche logique (avec les justifications) pour arriver au triangle équilatéral...
Passer par le triangle isocèle était "naturel", mais pas indispensable, la preuve...
Au fur et à mesure des échanges, toujours en prenant le triangle isocèle comme point de passage, je t'ai proposé d'autres méthodes, histoire de voir comment tu réagissais, jusqu'à aujourd'hui.

Ce qui est très important c'est que tu comprennes ce passage :

Dans cette symétrie :
$N\mapsto N'$ |
$O\mapsto O$   |> Donc le triangle NOH a pour symétrique le triangle N'OH.
$H\mapsto H$  |

Et comme la symétrie (et non la symétrique comme tu l'écris)  axiale conserve les angles et les longueurs, les angles et côtés correspondants de chaque triangle sont égaux...
On a alors :
HN = HN'  (H est donc le milieu de [NN'])
ON = ON' = 1
$\widehat{ONH}=\widehat{ON'H}$
$\widehat{NOH}=\widehat{N'OH}=\dfrac{\pi}{6}$

parce qu'il y a gros à parier que pas beaucoup (s'il y en a) de tes camarades auront procédé ainsi : donc forcément ton travail va trancher par rapport aux autres.
Ce procédé est valable :
* pour la Symétrie centrale,
* pour la Translation
* pour la Rotation

Par contre, on ne peut pas utiliser la définition d'une médiatrice puisqu'elle n'intervient que dans la Symétrie axiale...

Je n'ai pas eu besoin de prouver que N' était sur le cercle, ce n'était pas nécessaire et même c'était inutile...
Comment aurait-on pu montrer que N' était sur le cercle trigo, si cela avait été nécessaire ?
- on a montré que [ON'] est le symétrique de [ON] par rapport à (OI)
- après avoir dit que la symétrie conserve les longueurs et que donc  donc ON' = ON = 1,
- en faisant référence à la définition d'un cercle, dire que N' étant à la distance 1 du centre du O cercle, il était donc un point du cercle...

Définition d'un cercle : on appelle cercle de centre O et de rayon r, l'ensemble des points du plan situés à la distance r du point O.
Tu vois l'intérêt de bien connaître sa Géométrie de Collège...
Plus tu connais de théorèmes, de définitions, de propriétés "sur le bout des doigts", moins c'est difficile de répondre aux questions...

@+


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#24 08-12-2019 19:12:04

Nelcar
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Re : cercle trigo avec points (triangle)

Re,

Oui j'ai compris l'ensemble (il est vrai qu'au début c'était triste).
tu m'as fait avancé, super.
Merci encore de tes conseils
bonne soirée

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