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#1 02-12-2019 22:44:46

Zebulor
Membre
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Messages : 506

Inversion signes intégrales et somme

Bonjour,
@Maewen : me guider? Voilà qui est bien sympathique.. je te propose ceci et tu pourras me dire ce que tu en penses :
On pose $f_n(t,x)=x^n*sin(nt)$
•Alors pour $x$ fixé dans ]-1;1[, chaque $f_n$ est une fonction continue de $t$ sur $[0,\pi]$
•la série des normes infinies des $u_n$ converge vers la fonction $x -> \frac {1}{1-|x|}$ continue sur ]-1;1[. D ou la convergence normale donc uniforme de sur $[0,\pi]$.
Le théorème d intégration terme à terme permet alors de permutater les signes somme et intégrales.

Dernière modification par Zebulor (04-12-2019 07:20:01)

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#2 03-12-2019 08:29:23

Fred
Administrateur
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Messages : 5 321

Re : Inversion signes intégrales et somme

Bonour,

  Oui, tu peux. Il suffit d'appliquer le théorème d'intégration terme à terme (une conséquence du théorème de convergence dominée), dont tu pourras trouver un énoncé sur cette page.

Dis-moi si tu bloques à un endroit pour l'appliquer.

F.

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#3 03-12-2019 09:51:49

Zebulor
Membre
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Bonjour Fred,
Si j ai bien compris le théorème d’intégration terme à terme :
• on a bien des fonctions continues sur $[0,\pi]$
• la série $\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ $x^n sin(nt)$ converge vers une fonction f par convergence normale d’après mon post #1.
• la somme des intégrales des |$x^n sin(nt)$| sur $[0,\pi]$ est convergente toujours d’après ce même post.
Ce qui permet l’échange des termes intégrale et somme...

Dernière modification par Zebulor (03-12-2019 11:27:29)

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#4 03-12-2019 12:23:40

Fred
Administrateur
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Messages : 5 321

Re : Inversion signes intégrales et somme

C'est bien cela.

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#5 03-12-2019 13:45:48

Zebulor
Membre
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Re : Inversion signes intégrales et somme

D’accord merci Fred

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#6 03-12-2019 21:48:02

Maenwe
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Bonsoir,

J'ai une autre méthode un peu plus rapide dans ce contexte (qui est celui des intégrales non généralisé (c'est à dire, en particulier, on intègre sur un intervalle de $\mathbb{R}$ borné)) :
On a aussi un théorème qui dit que si une somme converge uniformément (ce qui est le cas ici car la convergence normale implique la convergence uniforme) alors on peut échanger le signe somme et intégrale.
Vu que Zebulor a montré la convergence normale il me semble plus adapté d'utiliser ce théorème, qui d'ailleurs se montre plutôt simplement en utilisant la convergence dominée.

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#7 03-12-2019 22:02:36

Zebulor
Membre
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Bonsoir ,
@Maewenn,
Je redécouvre ces choses après de longues années..Je crois comprendre que tu fais allusion au théorème d intégration terme à terme d une série de fonctions continues sur un compact  qui converge donc uniformément sur ce même compact..
J’essaierai de voir ..demain.. en quoi ce théorème utilise la convergence dominée...passons le relais aux quebequois a cteheure ci.

Dernière modification par Zebulor (03-12-2019 22:18:59)

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#8 03-12-2019 22:42:15

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : Inversion signes intégrales et somme

@Zebulor,
En fait il y a (au moins) deux manière de le montrer, soit à partir d'un théorème un peu plus général (dont la démonstration peut se faire avec ou sans le théorème de convergence dominé), et bien sûr une avec le théorème de convergence dominé. Je peux te guider dans la (ou les) démonstration(s) si tu le souhaites !

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#9 04-12-2019 07:35:24

Zebulor
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Messages : 506

Re : Inversion signes intégrales et somme

bonjour’
@Maewenn : me guider ? Voilà qui est bien sympathique.. je propose ceci grâce à l’idée que tu me donnes et tu me diras ce que tu en penses :
• on pose $f_n(t,x)=x^n sin(nt)$. Pour $x$ fixé dans ]-1;1[ chaque $f_n$ est une fonction continue de t sur $[0;\pi]$
•la série des normes infinies de $f_n(t,x)$ converge vers la fonction $x-> \frac {1}{1-|x|}$ continue sur ]-1;1[. D ou la convergence normale donc uniforme de $\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ $x^n sin(nt)$ sur $[0;\pi]$
. Le théorème d’intégration terme à terme permet de conclure qu on peut permuter les signes intégrales et somme.

Dernière modification par Zebulor (04-12-2019 09:01:36)

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#10 04-12-2019 09:01:21

Maenwe
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Bonjour,

@Zebulor, juste en ce qui concerne le code LaTeX pour coder ta flèche (|->) tu n'as qu'à écrire \mapsto ça donne : $\mapsto$ ;)
En ce qui concerne ton raisonnement, en effet le théorème d'intégration terme à terme (celui donné par @Fred) te permet de conclure, et tu as très bien énoncé les hypothèses dans ton raisonnement en #3. Moi je pensais utiliser le théorème de convergence dominé :

Pourquoi le théorème de convergence dominé, eh bien car sous toutes ses hypothèses (qui sont chacun des $f_{n}$ continue et majoré par une fonction intégrable indépendante de $n$) tu as : $\lim\limits_{n \to +\infty} \int_{a}^{b}$ $f_{n}(t)$ $dt$ $=$ $ \int_{a}^{b}$ $\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(t)$ $dt$. Est ce que tu vois le lien maintenant avec ta somme ? (toutes le hypothèses sont ici réunis si tu prends $f_{n}(t) = \sum\limits_{k=0}^{n} x^{n}sin(nt)$)

NB : Le théorème d'intégration terme à terme donné par @Fred est un théorème très utile dans le cas des intégrales impropre (c'est à dire généralisée), mais il n'est pas nécessairement facile de réunir toutes ses hypothèses en général, surtout le deuxième point énoncé dans la page envoyé par @Fred.
En résumé :
Si tu as la convergence uniforme d'une suite de fonction sur un intervalle bornée de $\mathbb{R}$ (et la suite de fonction peut être une somme) alors on peut échanger limite et intégrale mais aussi limite et somme (en fait dans la théorie de l'intégration de Lebesgue somme et intégrale c'est la même chose, c'est d'ailleurs dans le cadre de la théorie de Lebesgue que l'on démontre le théorème de convergence dominé, plutôt simplement d'ailleurs).

Dernière modification par Maenwe (04-12-2019 09:06:27)

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#11 04-12-2019 09:09:09

Zebulor
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Re,
@Maewenn : noté pour le mapsto. En fait si je t’ai bien compris le théorème sur l’intégrale d une limite uniforme d une suite de fonctions continues... est un cas particulier du th de convergence dominée. Ce dernier théorème est il au programme de deuxième année de fac?
Merci pour ces précisions!

Dernière modification par Zebulor (04-12-2019 09:22:02)

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#12 04-12-2019 10:00:46

Maenwe
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Re : Inversion signes intégrales et somme

Re,
Autant pour moi, j'avais mal compris ton précédent message !
@Zebulor je suis à peu près sûr qu'en L2 on ne voit pas le théorème de convergence dominé (enfin peut-être que ça dépend des profs je ne sais pas !) mais en prépa on voit le théorème de convergence dominé en deuxième année (et le théorème que je t'ai présenté). En ce qui concerne le théorème d'échange limite intégrale sur un intervalle borné, il me semble que oui les L2 le voit, normalement vu qu'ils voient la notion de série entière et de convergence uniforme, qui est d'ailleurs essentiellement là pour faire ce genre de chose !
J'ai trouvé 3 liens intéressant, un venant de Bibm@th, un autre de la prépa dupuy de Lome et un autre venant de l'université de Rennes 1 :

Bibm@th
Université de Rennes 1
Prépa dupuy de Lôme

Dernière modification par Maenwe (04-12-2019 20:40:25)

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#13 04-12-2019 21:27:32

Zebulor
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Re : Inversion signes intégrales et somme

@Maewenn : le cours rennais est clair et bien conçu. Sur les séries de fonctions j y vois que le théorème d inversion des signes somme et intégrale est court.

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#14 04-12-2019 21:56:39

Fred
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Re : Inversion signes intégrales et somme

@Maewenn: Je connais bien des universités où la notion de convergence uniforme a disparu du programme de L2.
D'ailleurs, j'avoue que j'ai un avis pas très tranché sur l'opportunité d'introduire le théorème de convergence dominé assez tôt. C'est vrai que c'est très pratique, mais d'un autre côté ne plus utiliser le théorème d'interversion limite/intégrale par la convergence uniforme a fait perdre beaucoup d'opportunité de travailler cette dernière notion.
D'ailleurs, dans le théorème d'interversion série/intégrales tel qu'il est appliqué en Math Spé, il y a une difficulté qui est souvent passée sous silence : la somme de la série doit être continue par morceaux. La plupart du temps, le seul moyen de prouver cette continuité par morceaux, c'est d'utiliser un argument de convergence uniforme.
Bien sûr, ça n'est plus le cas avec le "vrai" théorème de convergence dominée, lorsqu'on dispose de la théorie de la mesure.

F.

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#15 05-12-2019 07:04:26

Maenwe
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Re : Inversion signes intégrales et somme

@Fred, c'est vrai que dans l'énoncé du théorème la condition phare c'est soit la condition de convergence uniforme soit la condition de convergence de la série des intégrales. Mais je me souviens que l'on faisait plutôt attention à vérifier toutes les conditions du théorème...
Quoiqu'il en soit du point de vue du théorème de convergence dominé je ne suis pas vraiment pour ou contre (bien que ce soit un très puissant outil mais venant d'un autre point vue sur l'intégration...) même si on pourrait s'en passer vu qu'au final on ne l'utilise que dans le cadre des des intégrales à paramètres et intégrales généralisée dont on ne sait pas montrer la convergence par des méthodes plus "classique".
Enlever la convergence uniforme ? C'est "vraiment" bête, en plus ça fournit une motivation concrète pour faire de l'intégration de Lebesgue.

Dernière modification par Maenwe (05-12-2019 07:11:49)

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