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#1 02-12-2019 02:24:32

Amath
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 4

Polynome

Bonjour
Comment factoriser le polynôme  X^6 - 3X^5 - X^4 + 9X^3 - 3X^2 - 9X + 6 dans F6[X]
Merci

Dernière modification par Amath (02-12-2019 23:18:58)

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#2 02-12-2019 07:22:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Polynome

RE,

$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2\,??\;9x + 6$

Quel est le signe manquant ?


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 02-12-2019 07:49:54

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 506

Re : Polynome

Salut,
@Yoshi : je parie que c'est un signe négatif...
@Amath : si tel est le cas tu peux commencer par chercher des racines évidentes : 0,1,2,3,-1,...

Dernière modification par Zebulor (02-12-2019 08:48:29)

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#4 02-12-2019 08:47:50

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Polynome

Re,

Je marche sur des œufs...
Le "...dans F6[X]" est une notation que, j'avoue,  je ne connais pas, mais je vais me soigner (pas tout de suite, j'ai trop de fers au feu en ce moment pour 3 semaines)...
S'il s'agit effectivement de factoriser
$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2-9x + 6$
alors j'avais déjà trouvé deux facteurs $(x-1)$ et $(x-2)$...

Pour le reste je ne me suis pas cassé la tête et je laisse ce soin aux experts.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 02-12-2019 08:53:51

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 506

Re : Polynome

Re,
j 'avoue que je ne connais pas non plus cet ensemble F6[X], ..

Alors sans prétendre être un expert des polynômes, loin de là, mais à partir de l'information de Yoshi :
Dans $\mathbb R_6[X]$

$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2-9x + 6=(x-1)(x-2)(x^4+ax^3+bx^2+cx+3)$ qu'il suffit de développer puis identifier.

Dernière modification par Zebulor (02-12-2019 09:20:23)

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#6 02-12-2019 13:24:14

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : Polynome

Bonjour !

J'ai interprété dans un premier temps F6[X] comme le groupe $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, ça aurait été bien plus dure dans ce cas de factoriser ce polynôme puisqu'on était même pas sûr qu'il soit non irréductible, et ni même informé sur le nombre de racines ^^ Du coup $\mathbb{R}_{6}[X]$ semble bien plus plausible bien que je ne vois pas l'utilité de préciser que l'on ne s'intéresse qu'aux polynôme de degré inférieur à 6 ah et je rajouterai aussi que sur le clavier (enfin celui azerti), le F et R sont assez proche...

Mais si jamais c'est bien $\mathbb{F}_{6}$ alors il est possible d'étudier ce polynôme en étudiant un autre polynôme grâce à un isomorphisme :
Par le théorème chinois on a : $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
(isomorphisme donné par : $f(x [6]) = (x [2],x[3])$).
Après on étudie les racines de ce polynôme dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour $n \in \{2,3 \}$...

Dernière modification par Maenwe (02-12-2019 13:58:56)

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#7 02-12-2019 13:57:04

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 506

Re : Polynome

Re,

Maenwe a écrit :

je rajouterai aussi que sur le clavier (enfin celui azerti), le F et R sont assez proche...

@Maenwe : je confirme !!  :-)

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#8 02-12-2019 23:24:34

Amath
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 4

Re : Polynome

Bonjour
Ici on me demande de le factoriser en produit irréductibles dans F6[X]

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#9 03-12-2019 08:18:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 321

Re : Polynome

Bonjour,

  Alors, il faut que tu nous expliques ce que c'est $F_6$. Pour moi, la notation $F_q$, en algèbre, et plus particulièrement en théorie des corps, désigne le corps fini à $q$ éléments. Mais on sait qu'un tel corps n'existe que si $q=p^n$, où $p$ est un nombre premier. Et 6 n'est pas une puissance d'un nombre premier!!! Alors peut-être que Maenwe a raison et qu'il s'agit de $\mathbb Z/6\mathbb Z$, et alors dans ce cas, déjà le terme constant disparaît...

F.

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