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#1 30-11-2019 17:28:12

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 96

produit D par C^\infty

Bonjour
j'ai l'exo suivant: soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction de classe $C^{\infty}(\mathbb{R})$.
La question est: montrer que si $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ alors $f \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Qu'en déduisez vous?

Voici ma solution: tout d'abord, $f \varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ car il s'agit du produit de deux fonctions de classe $C^\infty$. Ensuite, on a $Supp(f \varphi) \subset Supp(f) \cap Supp(\varphi) \subset Supp(\varphi)$ et ce dernier est compact, donc $Supp(f \varphi)$ est à support compact et on conclut que $f \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.
1. Que pensez-vous de cette solution?
2. Qu'est ce qu'on peut répondre à la question: qu'en déduisez-vous?

Cordialement

Hors ligne

#2 01-12-2019 16:12:14

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 735

Re : produit D par C^\infty

Bonjour,

Ta réponse me parait correcte.

Que peut-on en conclure ??? Que l'ensemble $\mathcal D$ est stable par multiplication par des fonctions $\mathcal C^\infty$... que $\mathcal D$ est un $\mathcal C^\infty$-module ?
Ca dépend un peu de ce que tu veux faire ensuite !

Roro.

Dernière modification par Roro (01-12-2019 16:12:37)

Hors ligne

#3 02-12-2019 10:02:00

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 96

Re : produit D par C^\infty

Merci beaucoup.

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