Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 28-11-2019 22:34:24

mathss
Membre
Inscription : 28-11-2019
Messages : 1

Equations du second degré

Bonjour , j'ai un probleme que je n'arrive pas a resoudre , meme en essayant je n'y arrive pas , est-ce que sa serais possible de m'aider ? Merci de bien vouloir .
la question es la suivante :
l'aire d'un triangle rectangle est 429 m2 et son hypothenuse a pour longueur , h= 72.5.
Determiner le perimetre de ce triangle.

ce que j'ai commencé de faire est :
on sait que aire d'un triangle : (base × hauteur)÷2
soit    429 = (xy) ÷2
          214.5 = xy
et on sait que :
hypothenuse = y2 + x2
             72.52 = y2 + x2
                y = racine carré de 72.5 - x

donc    214.5 = (racine carré de 72.5 - x) x
             et en developpant sa fais : - x2 + racine carré de 72,5 - 214.5 =0

Et en calculant le discriminant j'obtient -785,5 . Donc il n'y a pas de solutions .

Sa pas l'aire d'etre tres juste ce que j'ai fait , donc est ce que  sa serais possible de me guider et me dire ce qui ne vas pas si c'est le cas? Merci de repondre au plus vite possible

Dernière modification par mathss (28-11-2019 23:09:23)

Hors ligne

#2 28-11-2019 23:54:03

mathsss
Invité

Re : Equations du second degré

bonjour je suis la même personne qui a demandé , en effet j'ai reussi et j'ai bien trouvé la bonne reponse , je tiens a vous mettre au courant car je n'arrive plus a me connecter sur l'autre compte .
Merci en tout cas , passez une bonne soirée / journee.

#3 29-11-2019 18:39:49

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Equations du second degré

Re,

Merci de repondre au plus vite possible

Alors, mon gars, je ne sais pas si tu étais conscient que l'heure que je vois sur ton premier message était : 23 h 34 min 24 s et à cette heure-là, il n'y a pas grand monde sur sur les forums : on dort ! ^_^
J'espère que par "j'ai réussi", tu veux dire que tu as trouvé une réponse, et que ce n'est pas ce qui figure dans ton 1er post qui est un tissu d'erreurs de calcul.
1. Ça commence mal :     

on sait que aire d'un triangle : (base × hauteur)÷2
soit    429 = (xy) ÷2

  Non, si $\dfrac {xy}{2}=429$ alors $xy=858$ et non 214,5...
  Qu'est ce que $x$ ? Qu'est-ce que $y$ ?
  Si on se fie à ton : "on sait que...", on pourrait penser que l'un est l'hypoténuse, l'autre la hauteur...
 
2. Mais voilà que tu écris :   

et on sait que :
hypothenuse = y² + x²
             72.5² = y² + x²
                y = racine carré de 72.5 - x

   Si x et y sont les côtés de l'angle droit, quel intérêt de faire (base x hauteur=)/2 précédemment ?
   Passons...
   En 1ere, tu oses écrire :
   hypothenuse = y² + x² ??
   Non ! C'est hypoténuse²=x²+y²
   Bon, on va dire que tu as oublié de noter le 2... il était tard !
   Mais avec $72,5^2=y^2+x^2$ non, $y\neq\sqrt{72,5-x}$
   Soit
   En effet, il vient $y^2=72,5^2-x^2$  et  $y=\sqrt{72,5^2-x^2}$

3. Bien entendu, ceci ne peut être malheureusement être que faux :   

donc
             214.5 = (racine carré de 72.5 - x) x
             et en developpant sa fais : - x2 + racine carré de 72,5 - 214.5 =0

  En fait c'est :  $858=x\times \sqrt{72,5^2-x^2}$ qui donne  $858^2=x^2(72,5^2-x^2)$

  Soit  $736164 = 5256,25x^2 - x^4$
  Et on arrive à l'équation bicarrée suivante :
  $x^4-5256,25x^2+736164=0$
  qu'on ne résout pas avec un discriminant, mais via un changement de variable : on pose $X = x^2$.
  $X^2-5256,25X+736164=0$
  Maintenant, oui :
  $\Delta = (-5256,25)^2-4\times 736164 = 27628164,0625 - 2944656 = 24683508,0625 = 4968.25^2$
  Donc solutions :
  $X_1=\dfrac{5256,25-4968,25}{2}=444=(2\sqrt{111})^2$
  $X_2=\dfrac{5256,25+4968,25}{2}= 5112.25$
  Et maintenant on cherche $x$ :
  $x1^2=(2\sqrt{111})^\;\iff\;x_1=\pm\sqrt{11}$
  Mais comme $x$ est une longueur seul $x=2\sqrt{111}\approx 21,07$ convient.

  Comme $xy=858$ alors $y=\dfrac{858}{2\sqrt{111}}=\dfrac{429}{\sqrt{111}}$
  Comme on ne garde pas la racine au dénominateur, on rend rationnel ce dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{111}$ :
  $y=\dfrac{429}{\sqrt{111}}=\dfrac{429\times \sqrt{111}}{\sqrt{111}\times \sqrt{111}}=\dfrac{429\sqrt{111}}{111}\approx 40,72$
 
  Mais, ces valeurs de x et y conviennent-elles vraiment ?
  Non ! Pourquoi ? Dans un triangle la somme des longueurs de 2 côtés est toujours supérieure à celle du 3e...
  or 21,07+40,72 = 61,79. Donc avec 72,5 ; 40,72 et 21,07 on ne forme même pas un triangle...

  Il reste à examiner le cas où $x^2=X_2$
  et résoudre $x^2=5112,25$  $\iff$  $x\pm\sqrt{5112,25}=\pm 71,5$
(Et, pour le plaisir de ne pas utiliser de calculette !)
  On ne garde que la solution positive $x = 71,5 \left(=\dfrac{5\times 11\times 13}{10}\right)$

  Maintenant je cherche le y correspondant :  $y = \dfrac{858}{71,5}=\dfrac{2\times 3 \times 11\times 13}{\dfrac{5\times 11\times 13}{10}}=\dfrac{2\times 3 \times 11\times 13\times 10}{5\times 11\times 13}=\dfrac{60}{5}=12$
  (On pouvait bien se passer de la calculette, même si cela aurait été plus rapide...)

  Contrôles de validité :
  a) 12 ; 71,5 ; 72,5 forment bien un triangle
  b) Est-il rectangle ? $71,5^2+12^2=5256,25$  et  $72,5^2=5256,25$. réponse : oui.

Donc les 3 côtés du triangle rectangle sont 12 ; 71,5 et 72,5. Son périmètre est 12+71,5+72,5 = 156

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 01-12-2019 08:36:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Equations du second degré

Bonjour,

On pouvait raccourcir le début calamiteux de notre ami ainsi.

Soient $x$ et $y$ les longueurs des deux côtés de l'angle droit.
L'aire du triangle rectangle est alors :
$\mathcal A = \dfrac{xy}{2}=429\;\iff\;xy=858$
D'autre la propriété de Pythagore permet d'écrire $x^2+x^2=72,5^2=5256,25$
Nous sommes donc confrontés à un système de deux équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy&=858\\x^2+y^2&=5256,25\end{cases}$
que l'on peut résoudre par substitution :
Puisque $x\neq 0$ (sinon pas de triangle) :
$xy=858\;\iff\;y=\dfrac{858}{x}$ que l'on reporte dans la 2e équation :
$x^2+\left(\dfrac{858}{x}\right)^2=5256,25$
$\iff$
$x^2+\dfrac{736164}{x^2}=5256,25$
On multiplie les deux membres par $x^2$ :
$x^4+736164=5256,25x^2$
soit encore :
$x^4-5256,25x^2+736164=0$

La suite (classique) est inchangée...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#5 01-12-2019 10:18:29

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 112

Re : Equations du second degré

Bonjour,

Autre approche plus directe.

Soit A et B les cotés de l'angle droit du triangle.

Aire = 1/2 * A * B
429 = A*B/2
A*B = 858

Pythagore : A²+B² = 72,5² = 5256,25

On a donc le système :

A*B = 858
A²+B² = 5256,25

(A+B)² = A²+B²+2AB
(A+B)² = 5256,25+2*858 = 6972,25
(A+B) = 83,5

Périmètre = A+B+h = 83,5 + 72,5 = 156 m

Calculs non vérifiés.

Hors ligne

#6 01-12-2019 10:25:44

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Equations du second degré

Re,

Ah, ça c'est joli : je n'ai pas pensé à (A+B)²...
Et je ne sais pas si l'idée me serait venue...
Clap ! Clap !

Les calculs ne peuvent être qu'exacts puisque j'avais trouvé :

@+
Côtés de l'angle droit $x=71,5$  et $y = 12$ soit $x+y=83,5$


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt deux plus un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums