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#1 21-11-2019 11:01:15

topdoc
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definition de la limite

s'il vous plait, comment montrer que [tex]\lim_{x\to1}(x^3+2x^2-1)=2[/tex]

je ne sais plus comment faire les majorations?

[tex]\forall\varepsilon>0, \exists \alpha>0, \forall x\in \mathbb{R}:[|x-1|<\alpha\Rightarrow |x^3+2x^2-3|<\varepsilon[/tex]

quelle est l'idée pour majoré [tex]|x^3+2x^2-3|[/tex] s'il vous plait merci

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#2 21-11-2019 13:18:32

D_john
Invité

Re : definition de la limite

Salut, (tu as aussi oublié ça !)

Sers toi de ça :

[tex]
Pour ~~ a \in \mathbb{R},
~~ \forall \varepsilon > 0,
~~ |a| \le \varepsilon ~~~~~ \Rightarrow ~~~~~ a = 0
[/tex]

... mais dans ton cas, je ne pense pas que ce soit nécessaire.

#3 21-11-2019 13:47:43

topdoc
Membre
Inscription : 17-08-2018
Messages : 23

Re : definition de la limite

je ne comprends pas comment utiliser ca ?

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#4 21-11-2019 14:08:03

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : definition de la limite

Bonjour,

On doit effectivement chercher à majorer |x^{3}+2x^{2}-3| mais pas par n'importe quoi, et qui plus est ce n'est pas la seule chose à faire il faut aussi trouver $\delta$... Sur cet exemple c'est tout à fait faisable de cette manière mais en général on raisonne en utilisant des fonctions de bases dont l'on connait des propriétés intéressantes tel que leur limite en certains points ou leur continuité, et l'on utilise aussi quelques propriétés général sur les fonctions (continues ou dérivable (sachant que dérivable implique continue)) comme par exemple : si f et g converge vers $l_{1}$ et $l_{2}$ respectivement, $f+g$ converge vers $l_{1}+l_{2}$, ce point de vue est développé en première année après le Bac (plus ou moins profondément, ça dépend quelle cursus tu fais) et beaucoup plus approfondi en deuxième année après le Bac en parlant de fonctions à plusieurs variables et de continuité, etc.

Ce que je voulais dire, c'est que la façon dont tu veux démontrer cette limite est (inutilement) laborieuse si tu as vu en cours comment est ce qu'on définit la limite d'une fonction (ou d'une suite) et ses propriétés générales. En écrivant ça je viens de me rappeler que les propriétés général sur les limites sont déjà énoncé en terminal... Donc en pratique si tu veux démontrer que ta fonction tend vers 2 tu n'as juste qu'à montrer que $g(x) = x^{n}$ tend vers 1 quand $x$ tend vers 1...

Pour en revenir à ta question initiale, si l'on oublit la théorie générale pour pouvoir résoudre cette question plutôt simplement, tu peux commencer par réécrire ton expression : $|x^{3}+2x^{2}-3| = |x^{3}-1+2x^{2}-2|$ et utiliser une inégalité triangulaire, et noramlement tu auras verras plutôt facilement ce que peut-être $\delta$ ;)

Dernière modification par Maenwe (21-11-2019 14:08:21)

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#5 21-11-2019 18:02:31

topdoc
Membre
Inscription : 17-08-2018
Messages : 23

Re : definition de la limite

[tex]|x^3-1+2x^2-2|\leq |x^3-1|+2|x^2-1|=|x^3-1|+2 |(x-1)| |(x+1)|=|x-1|(|x^2+x+1|+2|x+1|)[/tex]


Comment continuer s'il vous plait ?

Dernière modification par topdoc (21-11-2019 18:02:54)

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#6 21-11-2019 20:00:53

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : definition de la limite

La définition de la limite peut se réécrire comme ça aussi (ça revient à la même chose car ce que l'on veut dans la définition de la limite c'est de rendre une quantité arbitrairement petite) :
$\forall \epsilon < 1$ $ \exists  \delta > 0 | \forall x \in \mathbb{R} (|x-a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon$.

Est ce que tu vois maintenant ce que peut être $\delta$ ? (Petite indication en plus : tu peux encore appliquer l'inégalité triangulaire quelque fois pour avoir un truc intéressant).

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#7 21-11-2019 20:48:48

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 3

Re : definition de la limite

Bonjour,

En remarquant que 1 est racine on peut peut-être y arriver, en effet on a |x3+2x2-3|=|(x-1)||(x2+3x+3)|=|(x-1)||(x+1)2+x+2)| comme x tend vers 1, on peut supposer que |(x-1)|<1

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