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#76 13-11-2019 14:28:33

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

Bonjour Yoshi, j'ai remplacé  $a_0$ par $\dfrac 5 4$ et $a_n$ par $\dfrac{2n+5}{4}$, puis j'ai simplifié et j'ai trouvé une équation de second degré

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#77 13-11-2019 15:34:28

yoshi
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Re : Suites arithmetique 1ere

Salut,

Pas une équation (il n'y a pas de = 0), mais une expression du 2nd degré en n²...
Tu es allé trop loin :
$S_n=\dfrac{\left(\dfrac 5 4+\dfrac{2n+5}{4}\right)(n+1)}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{5+2n+5}{4}\right)(n+1)}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{2n+10}{4}\right)(n+1)}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{n+5}{2}\right)(n+1)}{2}=\dfrac{(n+5)(n+1)}{4}$
Et on s'arrête là...
C'est bien suffisant.

Maintenant, retour à ma méthode n°1.
On s'est arrêté là :
$S_n=\dfrac 1 4[(1+3+5+7+\cdots+2n+1)+(4+4+4+4+\cdots+4)]$
Et la question était : combien y a-t-il de nombres impairs entre $1$ et $2n+1$...

Pour t'aider, je t'ai dit :

Alors, empruntons une voie plus directe :
Si 2n+1 =  5  combien vaut n ?
    de 1 à 5, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Si 2n+1 =  7 combien vaut n ?
   de 1 à 7, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Si  2n+1 =  9 combien vaut n ?
    de 1 à 9, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Si 2n+1 =  11 combien vaut n ?
    de 1 à 11, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Si 2n+1 = 23 combien vaut n ?
    de 1 à 23, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Si 2n+1 = 59 combien vaut n ?
    de 1 à 59, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Donc de 1 à 2n+1, il y a ... nombres impairs.

La somme des nombres impairs de 1 à 2n+1 est donc égale à (⋯)2

@+


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#78 13-11-2019 16:42:50

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

2n +1 = 5
2n = 5 - 1
n = 4/2 = 2
n vaut 2

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#79 13-11-2019 16:53:46

yoshi
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Re : Suites arithmetique 1ere

Re,

Yann, Yann... tu ne réfléchis pas là
1, 3, 5 ça fait 2 nombres impairs ?

La question complète était :

Si 2n+1 =  5  combien vaut n ?
    de 1 à 5, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Tu n'as donné qu'une moitié de réponse...

Pour éviter un malentendu...
La liste de mes nombres impairs dans la première somme commence à 1 et se termine à 2n+1 inclus :
1 3 5 7 9..... 2n+1

Donc quand j'écris :

Si 2n+1 =  7 combien vaut n ?
   de 1 à 7, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Ma suite de nombres impairs est :  1 3 5 7  et le 7, ici, c'est 2n+1

Si 2n+1 =  9 combien vaut n ?
    de 1 à 9, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Ma suite de nombres impairs est :  1 3 5 7 9  et le 9, ici, c'est 2n+1

Si 2n+1 =  11 combien vaut n ?
    de 1 à 11, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Ma suite de nombres impairs est :  1 3 5 7 9 11  et le 11, ici, c'est 2n+1

Si 2n+1 = 23 combien vaut n ?
    de 1 à 23, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Ma suite de nombres impairs est :  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23  et le 23, ici, c'est 2n+1
Alors, reprends et réponds sans te précipiter...

@+


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#80 13-11-2019 17:17:47

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

si 2n+1 = 5, combien vaut n ?

2n + 1 = 5 <=> 2n = 5-1 <=> n= 4/2 <=> n = 2

et de 1 à 5 , il ya 3 nombres impaires, ce sont 1, 3 et 5 donc c'est 3 nombres impaires
donc n ≠ des 3 nombres impaires

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#81 13-11-2019 18:21:45

yoshi
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Re : Suites arithmetique 1ere

Re,

Je répétais à mes ouailles d'utiliser les 3 verbes fondamentaux des mathématiques :
observer, comparer et déduire...
C'est valable pour toi...
Tu réponds $n\neq 3$, c'est vrai, mais c'est trop vague, trop banal, pas assez précis : je n'aurais pas reproduit 6 fois le même questionnement si c'était tout ce qu'il fallait voir...

On reprend :
Si n=2, le dernier de la liste est 2* 2+1 =5  et il y a 3 nombres impairs dans la liste :
1 3 5

Si n=3, le dernier de la liste est 2*3+1 =7  et il y a ?? nombres impairs dans la liste :
1 3 5 7

Si n=4, le dernier de la liste est 2*?+1 =?  et il y a ?? nombres impairs dans la liste...

Si n=?, le dernier de la liste est 2*?+1 =11  et il y a ?? nombres impairs dans la liste...

Si n=?, le dernier de la liste est 2*?+1 =23  et il y a ?? nombres impairs dans la liste...

Si n=?, le dernier de la liste est 2*?+1 =59  et il y a ?? nombres impairs dans la liste...

1. Tu complètes,
2. Sur chaque ligne, tu compares les 2 nombres rouges
3. Tu déduis comment tu passes de l'un à l'autre : ce sera toujours la même réponse quelle que soit la ligne...

Je pars de n (fixé mais dont tu ne connais pas la valeur), le dernier nombre impair de de la liste est 2n+1 : il y a  ?? nombres impairs.
(Réponse à donner en fonction de n)

@+


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#82 Hier 15:32:23

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

Bonjour Yoshi, pardon de ne pas t'avoir répondu plus tôt...

si  n = 2, le dernier de la liste est 2*2+1 = 5 et de 1 à 5 : il y'a 1, 3, 5

si n = 3, le dernier de la liste est 2*3+1 = 7 et de 1 à 7 : il y a 1, 3, 5, 7

si n = 4, le dernier de la liste est 2*4+1 = 9 et de 1 à 9 : il y'a 5 nombres impaires

si n = 5, le dernier de la liste est 2*5+1 = 11 et de 1 à 11 : il y a 1, 3, 5, 7, 9, 11  c'est 6 nombres impairs

si n = 11, le dernier de la liste est 2*11 + 1 = 23 et il y a 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 ; il y a 12 nombres impairs

si n =  29, le dernier de la liste est 2*29+1 = 59 et il y a 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59 : il y a  30 nombres impairs jusqu'à 59

si n = 2     =>    3 nombres impairs

si n = 3     =>    4 nombres impairs

si n = 4     =>    5 nombres impairs

si n = 5     =>    6 nombres impairs

si n = .., le dernier nombre impair est 2*n+1=..  et il y a (n+1) nombres impairs

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#83 Hier 17:30:44

yoshi
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Re : Suites arithmetique 1ere

Re,

Oui !
Donc,
[tex]2Sn=\dfrac1 4[(1+3+5+7...+2n+1)+(4+4+4+4+...4)][/tex]
$1+3+5+7...+2n+1 = (n+1)^2$
Et $\underbrace{4+4+4+4+...4}_{\text{n+1 fois le nombre 4}}=4(n+1)$
Tu remplaces dans l'expression de $Sn$ et tu factorises ce qu'il y a à l'intérieur des crochets....
Et, enfin tu en déduis que $S_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{4}$...

Maintenant, il reste la deuxième méthode que j'ai trouvée plus tard : en fait je l'avais tout de suite, mais si je faisais une simplification à un moment donné, je m'apercevais alors que je ne trouvais pas le bon résultat...
Et je ne voyais pas le pourquoi de cette erreur : ça me dérangeait beaucoup !
Alors j'ai cherché pourquoi de temps de temps pendant plusieurs jours de suite... et j'ai fini par trouver l'explication.

Veux-tu essayer (à tes moments perdus) ?

@+

Dernière modification par yoshi (Aujourd'hui 12:34:12)


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#84 Hier 17:45:37

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

oui, je veux bien
mais comment as-tu trouvé pour la 2e parenthèse..

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#85 Hier 17:51:20

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

$S_n = \frac 1 4 [(1+3+5+7+9+\cdots+2n+1)+(4+4+4+4+\cdots+4)]$

puisque $S_1 = 1+3+5+7+9+\cdots+2n+1 = (n+1)^2$

$S_n = (n+1)^2 + (4+4+4+4+\cdots+4)$

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#86 Hier 18:22:11

yannD
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Re : Suites arithmetique 1ere

je développe  $(n+1)^2 + 4(n+1) = n^2+2n +1 + 4n + 4 = n^2+6n+5$

$x' = \frac {-6 + 4}{2} = \frac {-2} {2} = -1$

$x" = \frac {-6 - 4}{2} = \frac {-10}{2} = -5 $

$n^2+6n+5 = (n +1) (n+5)$

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#87 Aujourd'hui 11:50:24

yoshi
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Re : Suites arithmetique 1ere

Bonjour,

mais comment as-tu trouvé pour la 2e parenthèse..

1. Rappelle-toi : chacun des 4 de la 2e parenthèse vient d(un nombre de la 1ere parenthèse (voir posts #50 et #51)
    Donc puisque de 1 à 2n+1 il y a n+1 nombres paires, alors dans la 2e parenthèse il y a n+1 nombres 4.
2. D'après la définition de la multiplication :
    4+4+4 =4 *3
    4+4+4+4+4 = 4 * 5
    Donc, $\underbrace{4+4+4+4+...4}_{\text{n+1 fois le nombre 4}}=4(n+1)$

Maintenant c'est quoi cette manie de développer, réduire et sauter sur le discriminant pour factoriser?
Ce n'est pas plus simple de factoriser tout de suite (comme en 3e) ?
$(n+1)^2+4(n+1)=(n+1)(n+1+4)=(n+1)(n+5)$
On regarde bien et on se dit : tien,s àa pourrait être la série des nombres impairs de 1 à 2n+5

Alors ma 2e méthode...
On part de :
$S_n=\dfrac 1 4(5+7+9+11+\cdots+2n+5)$
On regarde bien et on se dit : tiens, ça pourrait être la série des nombres impairs de 1 à 2n+5 !
Pas de bol, il manque 1 et 3...
Qu'à cela le tienne !
Je le rajoute et au début et je soustrais 4 à la fin :
$S_n=\dfrac 1 4[(1+3+5+7+9+11+\cdots+2n+5)-4]$
Et maintenant, si tu sais me dire combien il y a de nombres impairs entre 1 et 2n+5, tu sauras combien vaut (en fonction de n) la somme :
$1+3+5+7+9+11+\cdots+2n+5$
Tu remplaces dans la parenthèse et tu vois apparaître une factorisation de 3e...
Alors tu FACTORISES, s'pas (range ton discriminant, il n'y en a pas besoin) !...

Et là tu as retrouvé la formule de la somme $S_n$...

@+


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