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#1 20-11-2019 20:22:57

Cesaratto
Membre
Inscription : 25-10-2019
Messages : 23

Variation de f

Bonjour,

J'ai un exercice ou on me demande de déduire les variations de f(x)=$\frac{x}{sh(x)}$ sur R. sh(x)=$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

J'ai dérivé la fonction qui me donne $f'(x)=\frac{(2*(e^x-e^{-x}-x*e^x-x*e^{-x})}{(e^{2*x}+e^{-2*x}-2)}$ pour tout x € R*

Ensuite je fais le tableau de signe et de variation qui me donne :

x                    |-inifni            0           +inifini
$x$                     -                0              +
$e^x$                    +                               +
$-e^{-x}$                -                                -
$-e^x$                 -                                -
$-e^{-x}$                -                                -
$e^2*x$               +                               +
$e^-2*x$             +                               +   

f'(x)                     -                               +

Es que c'est la bonne méthode ?
Cordialement

Hors ligne

#2 20-11-2019 20:44:43

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 529

Re : Variation de f

Bonjour Cesarreto,
Je n ai pas regardé si ce que tu as écrit est juste. Avant de calculer la dérivée de f tu peux déjà essayer (il semble que ça été fait précédemment) de débroussailler le terrain au maximum : voir quel est l’ensemble de définition de f, et si cette fonction présente des particularités (parité ? Imparité ?) de sorte à réduire éventuellement l’ intervalle d étude de sa dérivée f’.

Pour la suite Maewen te guide ... :-) au passage la dérivée de sh x est ch x...et tu as intérêt à écrire la dérivée sous forme condensée dans un premier temps, et seulement ensuite remplacer par des exponentielles...

‘En deduire’ c’est exploiter au maximum ce qu on sait déjà pour avoir le moins de travail possible pour la suite, comme pour l'exercice avec les racines...

Dernière modification par Zebulor (21-11-2019 05:30:25)

En ligne

#3 20-11-2019 20:52:48

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 190

Re : Variation de f

Bonjour,

Si on te dit de déduire c'est qu'il y a un truc avant qu'il "faut" que tu utilises, y en a t'il un ?
Sinon, ta dérivée est la bonne (j'ai eu un doute pour le dénominateur mais finalement c'est bon !), cependant tu n'aurais pas du développer le dénominateur, tu aurais du laisser $(e^{x}-e^{-x})^{2}$ ainsi on voit beaucoup mieux que ce terme est positif (c'est le signe qui nous intéresse ;)).

Concernant ton tableau de variation, ce n'est pas du tout ça qu'il faut faire, c'est certes une bonne idée mais ça ne marche pas comme ça un tableau de signe, tu as écris que la somme de trucs positifs ou négatif c'est négatif (enfin je suppose c'est ce que tu as fais) mais ce n'est pas du tout vraie, tu dois étudier le signe de $e^{x}-e^{-x}-x.e^{x}-x.e^{-x}$ pour te simplifier l'étude je te conseille de factoriser par $e^{-x}$, pour ne pas avoir un exponentiel qui se balade partout, et après tu vas obtenir une fonction qui ressemble à un polynôme du second degré, à toi de trouver un moyen de t'y ramener (il n'y a pas besoin d'étudier le dénominateur, il est toujours positif).

PS : Oups Zebulor (que je salue au passage !) m'a devancé, mais vu que nos messages se complètent (je pense), je vais laisser le mien !

Dernière modification par Maenwe (21-11-2019 05:49:06)

En ligne

#4 20-11-2019 21:00:14

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 529

Re : Variation de f

Salut Maewen ! :-)
En effet ton message complète le mien.. et je propose une variante à partir de :

Maewen a écrit :

tu dois étudier le signe de $e^{x}-e^{-x}-x.e^{x}-x.e^{-x}$

Car c’est le signe de $f’$.... qui se trouve aussi être celui de : $sh(x)-x*ch(x)$ ou encore de $h(x)=th(x)-x$.
A toi de voir pourquoi, Je te laisse continuer, réfléchir et conclure sur les variations de f.

Pour t aider : un formulaire très bien conçu : http://www.bibmath.net/formulaire/index … trigohyper

@Cesaratto  : on peut donc aussi travailler sans s’encombrer des exp en exploitant au maximum les propriétés des fonctions hyperboliques. Économie de copies doubles : tel est ton autre souci légitime

Dernière modification par Zebulor (21-11-2019 13:51:43)

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