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ade

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Endomorphisme commutant

Bonjour j'ai besoin de votre aide sur la question [tex]N°2[/tex] de cet exercice.
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Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension [tex]3[/tex] et [tex]f \in L(E) [/tex] telle que [tex]f^2\neq 0[/tex] et [tex]f^3= 0[/tex]
Soit  [tex] x_0 \in E / f^2(x_0)\neq 0[/tex]
1. Montrer que [tex](x_0,f(x_0),f^2(x_0))[/tex] est une base.
2. Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec [tex]f[/tex] est un sous-espace vectoriel de [tex]L(E)[/tex] de base [tex](id,f,f^2)[/tex].
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J'ai traité la première question mais la deuxième j'ai réfléchi sans aboutir. Merci de m'aider.

freddy

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Re : Endomorphisme commutant

Salut,

et si tu reprenais la définition d'une base ?

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"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

ade

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Re : Endomorphisme commutant

Une base est une famille libre et génératrice.
J'ai posé soit [tex]G[/tex] l'ensemble des endomorphismes commutant avec [tex]f[/tex]
soit [tex]g\in G[/tex], On a alors [tex]f°g=g°f[/tex].( lire [tex]f [/tex] rond [tex]g[/tex])
Mon problème est comment partir d'ici pour montrer que G est un sous-espace vectoriel de base  [tex](id,f,f^2)[/tex].
Merci.

freddy

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Re : Endomorphisme commutant

Re,

je répète : c'est quoi, une base ? Et que fais-tu de la question précédente ?

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ade

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Re : Endomorphisme commutant

Une base d'un espace vectoriel est une famille libre de même dimension que l'espace vectoriel.
D'Après la première question, on sait que [tex](id,f,f^2)[/tex] est une famille libre de [tex]L(E)[/tex].
Ma question est que comment montrer que c'est une base de l'ensemble des endomorphismes commutant avec f sachant que
un endomorphisme [tex]g[/tex] commute avec [tex]f[/tex] si et seulement si [tex]f°g=g°f[/tex].
Merci.

Maenwe

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Re : Endomorphisme commutant

Bonsoir,

Tu es d'accord que $(Id, f, f^{2}) $ est une famille libre ?
Si ce n'est pas une base de $C (u) = \{h | h\circ u = u \circ h \}$ alors il existe $h \in C (u) $ tel que $(Id, f, f^{2}, h) $ est libre. Qu'en déduis tu ?

freddy

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Re : Endomorphisme commutant

Bonsoir,

Tu es d'accord que $(Id, f, f^{2}) $ est une famille libre ?
Si ce n'est pas une base de $C (u) = \{h | h\circ u = u \circ h \}$ alors il existe $h \in C (u) $ tel que $(Id, f, f^{2}, h) $ est libre. Qu'en déduis tu ?

Salut,

cherche pas, on ne lui a pas donné la solution, il ne voulait pas pousser plus loin la réflexion pour établir le résultat demandé, il a raté une  jolie occasion d'avancer dans la compréhension des EV, il s'est barré, tant pis pour lui :-)

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ade

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Re : Endomorphisme commutant

OK Merci beaucoup... Je ne me suis pas barré Mr Freddy