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#1 13-11-2019 21:04:02

Super Yoshi
Membre
Inscription : 06-10-2019
Messages : 14

relation d'ordre

Bonjour

j'aimerais avoir votre avis sur ce que j'ai fais sur cette exercice svp

Exercice

Sur N* on définit la relation [tex]R[/tex] par
∀(a,b) ∈ N* x N*,[tex] aRb[/tex] ⇔ [tex] a [/tex] divise [tex]b [/tex]

a) montrer que la relation [tex]R[/tex] définit sur une relation d'ordre sur N*.
b) Est ce une relation d'ordre total ?

voila mon début :

a) Reflexive : on veut montrer que a[tex]R[/tex]a c'est à dire ∀(a,b)∈ N*xN*, a divise a, vraie

antisymétrique : on veut montrer que (a[tex]R[/tex]b et b[tex]R[/tex]a) => (a=b) c'est à dire ∀(a,b)∈ N*xN* si a divise b et b divise a alors a=b, vraie

transitive :  on veut montrer que (a[tex]R[/tex]b et b[tex]R[/tex]c) => (a[tex]R[/tex]c) c'est à dire ∀(a,b)∈ N*xN*, si a divise b et b divise c, alors a divise c, vraie,  Donc c'est une relation d'ordre

2) je ne sais pas encore ce que c'est une relation d'ordre total, avec des recherches, j'ai vus que les relations doivent être comparables (si je dit pas de bêtise) du coup je dirais ici que c'est total

merci

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#2 13-11-2019 21:16:28

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : relation d'ordre

Bonsoir,

Une relation d'ordre est dite totale si pour tout $x,y \in X$ (où $X$ est l'ensemble sur lequel on a définit une relation d'ordre $R$), $xRy$ ou $yRx$.
Donc à ton avis (bien sûr il faut que tu justifies ta réponse) cette relation d'ordre est-elle totale ?

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#3 14-11-2019 14:26:25

Super Yoshi
Membre
Inscription : 06-10-2019
Messages : 14

Re : relation d'ordre

bonjour,

ce n'est pas une relation d'ordre totale vus que a divise b ou b divise a est faux, si a=2 et b=4,  2 divise 4 mais 4 ne divise pas 2.
Sinon je peux prendre la négation et dire ∃(a,b)∈X tq non([tex]aRb[/tex]) et non([tex]bRa[/tex]) et donner aussi un exemple, ici je peux prendre a=3 et b=4 ce sera vrai donc le contraire est faux

c'est correcte ?

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#4 14-11-2019 16:18:17

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : relation d'ordre

Bonjour,

Tu as compris le principe, mais "ce n'est pas une relation d'ordre totale vus que a divise b ou b divise a est faux, si a=2 et b=4,  2 divise 4 mais 4 ne divise pas 2." est faux. J'ai écris $xRy$ ou $yRx$, et non pas $xRy$ et $yRx$... De plus le contre exemple que tu donnes dans cette phrase n'est pas un contre exemple à l'affirmation $R$ est une relation d'ordre totale, c'est même un exemple semblant indiquer que c'en est une, mais un exemple ne suffit pas pour montrer que quelque chose est vrai, et heureusement.

Par contre le deuxième exemple que tu donnes est très bien ! Et la négation est la bonne.

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