Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 12-11-2019 16:27:02

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 14

nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonjour,

J'ai quelques interrogations :

* Quand on travaille dans Z. Peut-on dire qu'il existe des nombres premiers négatifs ?

* Dans R pourquoi on ne peut pas parler de nombres consécutifs ?

Merci infiniment pour vos retours :)

Hors ligne

#2 12-11-2019 22:59:41

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonsoir,

A ma connaissance on ne parle pas vraiment de nombre premier négatifs, dans l'absolu on pourrait les considérer mais il suffit juste de les voir comme l'opposé d'un nombre premier, donc leur étude n'est pas très intéressantes dans la mesure où l'on peut se réduire à celle des nombres premiers positifs. La présence des nombres négatifs est cependant essentiel pour permettre de créer des structure plus grosses et intéressantes en mathématiques, comme les nombres rationnels et à partir des nombre rationnels on construit le bien connu ensemble des réels qui possède tout plein de propriétés passionnantes.
Pour en revenir à ta question initiale, de la littérature mathématiques que j'ai pu lire les nombres premiers positifs sont amplement suffisant et d'une grande complexité ! Et je n'ai lu nul part que de considérer de tels nombres permets d'obtenir des résultats plus générales ou de manière plus simple, mais qui sait !

Et ta deuxième question est une très bonne question ! Pour être sûr que l'on parle de la même chose je vais clarifier les choses : On dit qu'un nombre succède un autre dans un ensemble $A$ s'il n'existe pas d'autres éléments de $A$ pouvant s'intercaler entre eux deux.
C'est dû au fait que dans $\mathbb{R}$ il n'y a pas de "trous", autrement dit on peut-être arbitrairement proche d'un nombre sans jamais être ce nombre, mais grosse surprise ! $\mathbb{Q}$ possède cette propriété aussi ! On dit que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. En voici un exemple concret de pourquoi dans $\mathbb{R}$ il n'y a pas de nombres consécutif :

Soit $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x<y$.
On a alors que $x < \frac{x+y}{2} < y$.

Pour aller beaucoup plus loin :
Quant à d'où vient cette propriété de $\mathbb{R}$ ? Cela vient d'une propriété de la relations d'ordre usuelle sur $\mathbb{R}$, ce sont des mots un peu pompeux pour parler de l'inégalité $\leq$ que tu utilises sûrement couramment, et bien cette inégalité rend l'ensemble $\mathbb{R}$ archimédien, c'est à dire que pour tout $x \in \mathbb{R}$ il existe un entier naturel $n \in \mathbb{N}$ tel que $x < n$ ce qui permet de rendre arbitrairement petit cette suite : $(\frac{1}{n})$ (" rendre arbitrairement petit" veut dire que pour n'importe quel nombre $\epsilon >0$ (aussi proche de 0 qu'on le souhaite mais non nul) il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout entier $n$ plus grand que $N$ on ait $0 < \frac{1}{n} < \epsilon$).

En espérant ne pas t'avoir perdue, s'il y a une chose que tu dois retenir c'est que le fait qu'il n'y a pas de nombres consécutifs dans $\mathbb{R}$ est une des propriétés de $\mathbb{R}$ qui rende $\mathbb{R}$ aussi malléable et d'un premier abord intuitif, permettant d'obtenir des théorèmes très intuitifs mais pas si évident à montrer.

Dernière modification par Maenwe (12-11-2019 23:01:24)

Hors ligne

#3 13-11-2019 08:12:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonjour,

Concernant d'éventuels nombres premiers dans $\mathbb Z$, sauf à changer la définition d'un nombre premier, à savoir un nombre qui n'a que deux diviseurs (j'ai même vu parfois la précision deux diviseurs positifs), pour moi, ladite définition permet de répondre :
Dans $\mathbb N$, l'ensemble des diviseurs de 3 est $\mathcal D (3)=\{1,3\}$
Dans $\mathbb Z$, l'ensemble des diviseurs de 3 est $\mathcal D (3)=\{-3,-1, 1,3\}$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 13-11-2019 09:09:11

Matou
Invité

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonjour,

sans vouloir être pédant, ni rentrer dans une polémique stérile, il me semble que la notion d'élément premier est définie pour tout anneau intègre https://fr.wikipedia.org/wiki/Primalité_dans_un_anneau et qu'elle est plus complexe que la définition élémentaire des premiers dans [tex]\mathbb N[/tex] (qui au passage n'est pas un anneau).

Après, c'est juste une question de définition. Mais, je pense que ce qu'on apprend au collège n'est qu'une première approche (historique) des travaux de Hilbert et de Noether. Pour moi, -3 est premier dans [tex]\mathbb Z[/tex].

Cordialement

Matou

#5 13-11-2019 11:00:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonjour,

je pense que ce qu'on apprend au collège

Il y a près de 20 ans que la notion de nombre premier a disparu des programmes de Collège...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/ar … h5_01.html

https://euler.ac-versailles.fr/baseeule … jsp?id=205

http://www4.ac-nancy-metz.fr/clg-j-ferr … onnels.pdf

http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/a … vergne.pdf

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~jr … emiers.pdf (pas de définition mais tout le travail est fait sans jamais évoquer $\mathbb Z$ ...)

Mais, lien discordant qui semble te donner raison :
https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer … emiers.pdf

Cela dit, nous sommes dans le sous-forum Collège/Lycée, et Tania est probablement encore -sauf erreur - en Collège si elle était en Lycée, ça ne changerait rien d'ailleurs).
Elle est très curieuse, ce qui est bien !
Les intervenants ne sont pas tous des profs en exercice, voire en retraite donc ils ne peuvent pas savoir que les IPR les Inspecteurs Pédagogiques Régionaux, ces gardiens du temple chargés de maintenir l'orthodoxie des contenus et des pédagogies, n'ont de cesse de répéter : On n'a pas à enseigner à un niveau n+1 quand on est à un niveau n.
En l'occurrence ici, c'est c'est plutôt du n=k avec k>= 4...

Est-ce qu'il est vraiment approprié de poster à un tel niveau pour Tania ?...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#6 13-11-2019 21:08:31

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonsoir,

C'est vrai que le niveau de mon post précédent était aussi un peu élevé ! Mais pour répondre à sa question de manière satisfaisante il me semblait qu'il fallait parler un peu de ces notions pas très très simple (et même compliquée à un niveau collège ou Lycée) mais qui font de $\mathbb{R}$ un ensemble très intéressant !

Hors ligne

#7 14-11-2019 08:31:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : nombres premiers dans Z et nombres consécutifs dans R

Bonjour,

@Maenwe.
Ça allait encore...
La "vulgarisation scientifique" en général, la simplification de notions mathématiques en particulier pour les mettre à la portée (toute relative) d'un niveau <= n-4 est un art très difficile...
Cela nécessite des coupes, de passer sous silence certaines choses sous silence sans pour autant faire fi d'une certaine rigueur : on se retrouve très vite écartelé  entre des "obligations" contradictoires ou antagonistes, ça s'apprend avec le temps mais jamais complètement...

Il y aurait déjà tant à dire sur les nombres entiers : les élèves à partir de 4e/3e, si tant est qu'on le fasse (ou qu'on essaie de le faire) avec doigté en pleine conscience de ce que l'on fait peuvent mordre et se prendre au jeu...

Il y a un scientifique qui crée et a créé ses propres BD (textes et dessins sont de lui) et qui après commercialisation a changé son fusil d'épaule et les a mises en libre téléchargement... Dans ce domaine de la science à la portée de "tata Jacqueline", ce type-là est une référence.
Cf : https://www.savoir-sans-frontieres.com/ … m#francais
Je connais tous les nos de 1 à 18.
Le Geometricon est une merveille (attation , hein... il termine quand même par "les espaces trimensionnels courbes...)
Docteur es Sciences, du temps de sa jeunesse, il était :
- chargé de recherche au CNRS
- spécialiste de l'Astrophysique
- responsable d'un service de Micro-informatique dans une Fac
- professeur aux Beaux-Arts

Pas une mazette donc...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante quinze moins dix
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums